0,207 879 576 350 761 908 546 955...:
Anfang der Dezimalbruchentwicklung von iⁱ oder auch e^-π/2, da i die Quadratwurzel aus -1:i=√-1 ist und die Eulersche Beziehung e^iπ=-1 zeigt, daß die beiden Ausdrücke gleich sind.

0,301 029 995 663 981...:
Log. von 2 zur Basis 10. Zur Bestimmung der Anzahl Stellen einer Potenz von 2 multipliziert man den Exponenten mit log2 und nimmt die kleinste natürliche Zahl, die größer als das Produkt ist. (Bsp.: 2 ¹²⁷-1 hat genau 39 Stellen, weil 127x0,30103=38,23081 ist)

0,318 309 886 183 790...: π^-1

0,367 879 441 171 442...:
e^-1. Wenn in dem Problem der fehlgeleiteten Briefe (siehe 44, Subfakultäten) die Anzahl der Briefe und Umschläge zunimmt, nähert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jeder Brief in einem falschen Umschlag gesteckt wird, sehr rasch diesem Grenzwert. Oder aber: Man mischt zwei Pakete Spielkarten (je 52 Karten) sehr gut. Dreht man je die oberste Karte der beiden Stapel um, ist die Wahrscheinlichkeit, daß dabei kein zusammenpassendes Paar aufgedeckt wird, ungefähr e^-1.

0,434 294 481 903 251 827 ...: Logarithmus von e zur Basis 10.

0,5:
Es gibt 12 Möglichkeiten, mit allen Zahlen zwischen 1 und 9 einen Bruch zu bilden, dessen Wert 0,5 ist. Dabei hat 6729/13458 den kleinsten Zähler und Nenner, 9327/18654 die größten.

0,577 215 664 901 532 860 606 512 ...:
Eulersche Konstante γ, der Grenzwert für n gegen Unendlich der Folge:
1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 +...+ 1/n - log n.
Es ist nicht bekannt, ob γ irrational ist oder nicht, auch nicht, ob sie transzendent ist.

0,607 927 101 ...:
6/π ² = (1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4²+...)^-1
Wählt man zwei Zahlen zufällig aus, gibt diese Zahl die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß die beiden Zahlen keinen gemeinsamen Faktor haben, aber auch dafür, daß eine zufällig gewählte Zahl nicht durch ein Quadrat teilbar ist.

0,693 147 180 559 945 309 ...:
log_e2=1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5...

0,7404...:
π/√18. Wie eng kann man gleichgroße Kugeln zusammenpacken? In einer Ebene zunächst so, daß jede Kugel sechs andere berührt. Die nächste Lage dann so, daß jede Kugel drei Kugeln in jeder Schicht, also insgesamt 12, berührt.
Der Beweis, daß dies die Antwort ist, ist bis jetzt noch nicht erfolgt. Würde man so die dichteste Packung erreichen, würde die obige Zahl deren Dichte angeben. Viele Mathematiker glauben und alle Physiker wissen, daß die Dichte nicht größer als π/√18 sein kann. (Rogers)

0,9068...
π/(2√3). Packt man gleichgroße Kreise in ein sechseckiges Muster und bedeckt damit die Ebene, gibt diese Zahl an, welchen Anteil der Fläche der Ebene die Kreise überdecken.

1
Bei den Griechen gar keine Zahl, sondern die Grundlage aller Zahlen. 1 ist die einzige Zahl, die bei der Addition mehr ergibt als bei der Multiplikation.
Als Primzahl wird 1 auch als Ausnahme betrachtet. Zwar ist 1 nur durch sich selbst und durch 1 teilbar, doch der Satz, daß jede Zahl sich in eindeutiger Weise als Produkt ihrer Primfaktoren beschreiben läßt (z.B. 12=2x3x3, kein anderes Produkt von Primzahlen ergibt 12), ergäbe eine ungeschickte Praktik, wenn 1 eine Primzahl wäre. Dann könnte man das Produkt der Primfaktoren von 12 auch mit 1x2x3x3 oder 1x1x2x3x3 usw. angeben. Also wurde 1 als Primzahl gestrichen.
1 als Summe zweier Quadrate wäre 1=1²+0² (was trivial ist), 1 läßt sich so auch als Summe dreier Quadrate oder als Summe von Kuben beschreiben, was noch störender ist. Eins ist auch die kleinste Zahl, die sowohl eine Dreiecks- als auch eine Fünfeckszahl ist. Ebenfalls unangenehm! Eins ist also die kleinste Zahl, die sowohl interessant als auch störend ist.

1,060 660 ...:
(3√2)/4. Kantenlänge eines Würfels, der durch den Einheitswürfel mit der Kantenlänge 1 hindurchpaßt. Die Symmetrieachse dieses Tunnels verläuft nicht parallel zur Diagonale des Ausgangswürfels. Vielmehr werden die kanten des Einheitswürfels im Verhältnis 1:3 und 3:13 geteilt.

1,259 921 049 894 873 164 76...:
³√2. Konstruktion eines Würfels, der dessen Volumen doppelt so groß ist wie das eines angegebenen Würfels. Das Problem ist nicht mit Zirkel und Lineal lösbar.

1,414 213562 373 095 048 801 ...:
√2. Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat. Näherung: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408...

1,444 667 861...:
e^1/e. Lösung des Steinerschen Problems: Für welchen Wert von x nimmt die Funktion x1/x ihr Maximum an? Euler hat bewiesen: x^{x^x x^...} besitzt einen Grenzwert, wenn die Höhe des Stapels gegen unendlich strebt, falls x zwischen e^-e=0,0065988... und dem obigen Wert e^1/e liegt.

1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 76...:
Der Goldene Schnitt, enspricht dem Zahlenwert (1+√5)/2. Zwei Diagonalen im Fünfeck schneiten sich gegenseitig im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Verknotet man einen Papierstreifen auf die übliche Weise und glättet ihn sorgfältig, entsteht dieselbe Figur (siehe Skizze). Hat der größere Abschnitt auf einer Strecke die Länge φ und ist die Länge des kleineres Teils 1, so gilt: (φ+1)/φ=φ/1. Oder φ²=φ+1 oder 1/φ=φ-1.
Zeichnet man ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander stehen, kann man dieses in ein Quadrat und ein Rechteck unterteilen, daß dem Ausgangsrechteck ähnlich ist. Dies läßt sich unbeschränkt fortführen. Durch die Ecken der sich ergebenden Folge von Rechtecken läßt sich eine logarithmische Spirale legen. Eine Annäherung an diese Spirale ist eine Folge von Viertelkreisen in den Quadraten. Die logarithmische Spirale kommt in der Natur häufig vor (Schneckenschalen, Anordnung der Blätter an einem Baum).
φ²=φ+1, φ³=2φ+1, φ⁴=3φ+2, φ⁵=5φ+3, φ⁶=8φ+5... Jede Potenz ist gleich der Summe der beiden unmittelbar vorangehenden Potenzen. Die Koeefizienten von φ bilden deshalb eine Fibonacci-Folge. Das gilt auch für den zweiten Summanden in der Summendarstellung.
φ ist auch der Wert des einfachsten Kettenbruches: 1+(1/1+(1/1+(1/1+(1/1+....)))). Es ist der Kettenbruch, der am langsamsten gegen seinen Grenzwert konvergiert. Näherungsbrüche sind 1/1, 2/1, 3/2, 5/3 ..., wobei Zähler und Nenner wieder Fibanocci-Folgen sind. Leicht zu merken sind die Näherungen 377/233 oder 233/144.
Berrechnet man die natürlichzahligen Vielfachen von φ und φ² und streicht alle Nachkommastellen, erhält man eine Reihe von Paaren:
(0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10), (8,13), (9,15).... Drei Eigenschaften hat diese Reihe: Die Differenz der beiden Paar-Partner wächst zur nächsten genau um eins an. Die Kleinere der beiden Zahlen eines Paares ist immer die kleinste natürliche Zahl, die zuvor noch nicht in der Folge aufgetreten ist. Drittens tritt in dieser Folge jede natürliche Zahl genau einmal auf. Alle diese Paare sind außerdem Gewinnkombinationen in Wythoffs Spiel.

1,664 934 066...: π²/6. Die Summe der Reihe 1/1² + 1/2² + 1/3² +...

1,90915:
Angenäherte Wert der Konstante von Brun, die Summe 1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31..., wobei der Nenner alle Primzahlzwillinge durchläuft. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, man weiß aber, daß die Reihe konvergiert. Der Wert ist erstaunlich schwer zu berrechnen. Die beste bekannte Näherung: 1,90195±10^-5.

2
Das Produkt einer beliebigen Zahl mit zwei ist gleich der Summe dieser Zahl mit sich selbst. Zwei ist die erste und einzige gerade Primzahl, die erste glückliche Zahl, Zwei teilt zehn und zehn ist die Basis unseres geläufigen Stellenwertsystems. Deshalb ist eine Zahl dann durch Zwei teilbar, wenn die Ziffer, die ihre Einer angibt, durch zwei teilbar ist. Eine natürliche Zahl ist nur dann Summe einer Folge von unmittelbar aufeinanderfolgenden Zahlen, wenn sie keine Potenz von zwei ist. Zwei ist die erste defiziente Zahl. Alle Potenzen von Primzahlen sind defizient, auch alle Potenzen von zwei.
Die Fermatische Vermutung lautet: Die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ hat nur dann natürlichzahlige Lösungen, wenn n=2. Die Lösungen bilden dann die Seitenlängen des rechtwickligen Dreiecks.
Das Dualsystem beruht auf der Basis zwei, in England gerne gebräuchlich. So ist 1 Tun =2 Pipes = 4 Hogsheads = 8 Barrels = 16 Kiderkins = 32 Firkins (oder Bushels) = 64 Demi-Bushels = 128 Pecks = 256 Gallons = 512 Pottles = 1024 Quarts = 2048 Pints = 4096 Chopins = 8192 Gills.
In jüngerer Vergangenheit benützten russische Bauern eine raffinierte Methode, Zahlen zu multiplizieren: z.B. 27x35, man schreibt beide Zahlen an die Spitze einer Spalte. Dann halbiert man die erste Zahl so lange, bis man die 1 erreicht. Dabei werden Reste ignoriert. Entsprechend oft wird die zweite Zahl verdoppelt. In der zweiten Spalte werden alle Zahlen ausgestrichen, die neben einer geraden Zahl in der ersten Spalte stehen. Die Summe der verbleibenden Zahlen ist das gesuchte Resultat.
Eine der einfachsten Eigenschaften von Zahlen ist ihre Parität, also ob sie durch zwei teilbar ist. Alle Primzahlen sind ungerade, außer Zwei, alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade.

2,302 585 092 994 045 684 017 991 454 684 364 207 601 ...:
Der natürliche Logarithmus von zehn.

2,506 628:
√2π: Konstante Faktor der Stirlingschen Formel, die annäherungsweise den Wert von n! angibt. Die obige Zahl ist gleich dem Grenzwert von
(n!*eⁿ) / (nⁿ*√n), wenn n gegen Unendlich geht.

2,618 033:
Quadratwurzel aus dem Goldenen Schnitt φ. Die einzige positive Zahl, für die √n=n-1 gilt.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 ...
Zahl e, die als Basis der natürlichen Logarithmen gilt. Euler bezeichnete die Zahl als e und bewies, daß e der Grenzwert von (1 + 1/x)² für x gegen Unendlich ist. Newton fand heraus, daß für die Gleichung e^x = 1+ x + x²/2! + x³/3! + ... gilt. Daraus ergibt sich: e = 1+ 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! ... Beste Näherung mit Bruchzahlen unter 1000 ist 878 / 323.
e ist irrational wie π, außerdem auch transzendent.

3
Für die Pythagoräer die erste Zahl, da sie als erste Zahl einen Anfang, eine Mitte und ein Ende hat. Die Dreiteilung eines Winkels war eines der drei klassischen Probleme der Antike, neben der Quadratur des Kreises und der Verdopplung des Würfels. Das Problem besteht darin, einen Winkel nur mit Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu zerlegen. Auch hier für es zu einer Gleichung dritten Grades. Descartes löste es, indem er eine Parabel und einen Kreis zum Schnitt bringt, was sich aber nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren läßt. Pappus verwendete eine Hyperbel, Hippias erfand die Quadratirix, mit der man einen Winkel in jedem gewünschten Verhältnis teilen konnte. Die von Nikomedes eingeführte Konchoide konnte den Winkel dreiteilen und auch den Würfel verdoppeln.
Durch drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen, läßt sich immer ein Kreis legen.
Drei ist nach der Eins die zweite Dreieckszahl. Gauß bewies, daß jede natürliche Zahl Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ist.
Es gibt drei Parkettierungen der Ebene durch regelmäßige Vielecke: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck der Bienenwaben. Drei teilt alle Zahlen, die um eins kleiner sind als eine Potenz von zehn, auch, wenn die aus ihren Ziffern gebildete Quersumme durch drei teilbar ist. Drei ist die erste ungerade Primzahl, auch die erste Mersennesche Primzahl, denn es gilt: 3 = 2² -1. Und die erste Fermatsche Primzahl: 3 = 2^{2^0} + 1. Jede genügend große ungerade Zahl ist die Summe von höchstens drei Primzahlen. 3 ist 1!+2!. Das kleinste magische Quadrat hat die Kantenlänge 3.

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972 ...:
π, die berühmteste und bemerkenswerteste Zahl. π ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser oder auch als Fläche des Einheitskreises. Sie ist die einzige irrationale und transzendente Zahl, die in der Natur vorkommt. Die Griechen waren fasziniert von der Aufgabe, nur mit Zirkel und Lineal aus einem Kreis ein flächengleiches Quadrat zu machen. Archimedes stellte bei der Berrechnung regelmäßiger 96-Ecke den besten Näherungswert für π bei Bruchzahlen unter 100 fest: 3 1/7 (3,142857...). Der griechische Astronom Ptolemäus verwendete 377/120 (3,1416..), die nächste Verbesserung geschah in China, wo man feststellte, daß π zwischen 3,141 592 6 und 3,141 592 7 liegt. Erst im 15. Jahrhundert wurde dieses Ergebnis von Al-Kashi übertroffen, der die ersten 16 Stellen berrechnete. Euler entdeckte dann die Beziehung zwischen π, i, Eins, Null und e (e^1π +=0). Lambert bewies, daß irrational ist.
Er berrechnete mit Hilfe von Kettenbrüchen die besten rationalen Näherungen zwischen 193.393/33.102 und 1.019.514.486.099.146/324.521.540.032.945.1853 veröffentlichte Shanks seine Berechnung von 707 Dezimalstellen von π. Mit dem Einzug des Computers ging es rasant weiter: 1949 wurden in nur 90 Stunden 2037 Stellen berrechnet, 1967 500.000 Stellen 1983 ermittelten Japaner 16.777.216 Stellen. Laut Guiness-Buch der Rekorde 1992 berechneten David und Gregory Chudnovsky an der New Yorker Columbia-Universität 1989 die ersten 1 011 196 691 Stellen. Dazu wurden zwei Supercomputer, der IBM 3090 und der CRAY-2, benutzt.
Man nimmt an, daß π normal ist, daß es also kein System in der Dezimalbruchentwicklung gibt. Sie sieht auch willkürlich aus, abgesehen von sechs aufeinanderfolgenden Neunen zwischen den Stellen 762 und 767. Eine andere Seltsamkeit liegt zwischen den Stellen 6-30: ...26 5389 793238 46 26 383279...
1882 bewies Lindemann, daß π auch transzendent ist, also nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten und endlich vielen Termen.
Der Biologe George Buffon zeigte folgendes: Fällt eine Nadel aus einer gewissen Höhe auf eine durch äquidistante parallele Geraden aufgeteilte Ebene und entspricht die Länge der Nadel exakt dem Abstand der Parallelen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadel eine Gerade kreuzt, genau 2/π. Nach 600 Versuchen erreichte man den Wert 3,137.
(π√2)/4= 1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 + 1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15 +...
(π-3)/4 = 1/(2x3x4) - 1/(4x5x6) + 1/(6x7x8) - ...
π²/6 = 1+1/2² + 1/3² + 1/4² + ...
π²/8 = 1+1/3² + 1/5² + 1/7² + ...

3,321928...:
log₂10. Will man feststellen, wie viele Stellen eine Zehnerpotenz im Dualsystem hat, multipliziert man den Exponenten dieser Potenz mit der oben angegebenen Zahl und rundet auf die nächstgrößere Zahl auf.

4:
Die zweite Quadratzahl und das erste Quadrat einer Primzahl. Der einfachste Platonische Körper, das Tetraeder, besitzt vier Ecken und vier Flächen. Durch vier beliebige Punkte der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, läßt sich immer eine Hyperbel legen. Jede natürliche Zahl ist die summe von höchstens vier Quadratzahlen. Der Beweis dieser Vermutung gelang erst 1770. Tatsächlich braucht man nur für ein Sechstel aller natürlichen Zahlen wirklich vier Quadrate (diese Zahlen haben die Form 4ⁿ(8m+7)), alle anderen sind die Summe von höchstens drei Quadraten.
Vierfarbenvermutung: Es werden maximal vier Farben benötigt, um die Länder einer Landkarte einzufärben, so daß nie zwei gleichfarbige angrenzen. Alle bisherigen Beweise erwiesen sich als fehlerhaft, bis 1976 mit Hilfe eines Computers der Beweis erbracht wurde, dem viele Mathematiker jedoch sehr skeptisch gegenüber stehen, weil der Beweis eine Rechenzeit von 1200 Stunden erforderte und für die meisten Mathematiker nicht nachprüfbar war.
Eine Zahl ist durch vier teilbar, wenn die Zahl, die aus den beiden letzten Ziffern der Ausgangszahl gebildet wird, durch vier teilbar ist.
Vier ist das einzige Zahlwort, das im Deutschen wie auch im Englischen genauso viele Buchstaben hat, wie die Zahl angibt.

5
Für die Pythagoräer die Zahl der Hochzeit, weil sie gleich der Summe der ersten weiblichen Zahl (2) und der ersten männlichen Zahl (3) ist. Sie ist die Länge der Hypotenuse im kleinsten pythagoräischen Dreieck (ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seitenlängen alle natürlichzahlig sind). Die Seitenlängen 3 und 4 wurden als männlich und weiblich bezeichnet, die fünf stellte die nachkommen dar.
Das Pentagramm wurde mit dem Goldenen Schnitt und dem vierten Platonischen Körper, dem Dodekaeder, in Zusammenhang gebracht, dessen Flächen reguläre Fünfecke sind.
Fünf ist die Summe zweier Quadratzahlen (1²+2²).
Durch fünf Punkte in der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, kann man immer einen Kegelschnitt legen. Sie ist die zweite Fermatsche Zahl und die zweite Fermatsche Primzahl (2²+1). Die fünfte Mersenne-Zahl 2⁵ -1=31 ist eine Primzahl. Sie ist die dritte Mersenne-Zahl mit dieser Eigenschaft. Das führt zur dritten vollkommenen Zahl: 496.
Jede Zahl läßt sich auf unendlich viele Weisen als Summe von fünf positiven oder negativen Kuben darstellen.
Das Volumen der Einheitskugel im Hyperraum nimmt bis zur Dimension fünf zu, danach ab.
Die Fünf als Basis für ein Zählsystem besaß nur eine südamerikanische Sprache.
Der fünfte Platonische Körper ist das Ikosaeder.
Fünf ist die fünfte Fibonacci-Zahl. Fibonacci-Zahlen gehen auf ein Problem von Fibonacci zurück (1202): Ein Mann setzt ein Kaninchenpaar in einen Käfig. Wieviele Nachkommen haben sie in einem Jahr, wenn jedes Paar pro Monat ein neues Paar zeugt, das sich im zweiten Monat fortzupflanzen beginnt? Angenommen, Kaninchen sind unsterblich, dann ergibt sich die Anzahl der Paare nach jedem Monat aus der folgenden Aufstellung:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 ...
Die nächstliegende und einfachste Eigenschaft der Folge ist, daß in ihr jedes Glied gleich der Summe der beiden unmittelbar vorangegangenen Zahlen ist. Die Verhältnisse aufeinanderfolgender Glieder konvergieren gegen einem Grenzwert, der gleich φ ist, dem Verhältnis des Goldenen Schnittes. Aufeinanderfolgende Verhältnisse sind entweder kleiner oder größer als φ. Nach zwölf Glieder beträgt die Übereinstimmung mit φ bereits vier Dezimalstellen. Die n-te Fibonacci-Zahl ist F_n =[(1+√5)ⁿ -(1-√5)ⁿ] / (2ⁿ * √5), oder auch einfacher: ((√5 - 1) / 2)², was für n=1 den Wert 0,618 ... hat und dann sehr klein wird, so daß F_n in Wirklichkeit die natürliche Zahl ist, die am nächsten an (1 / √5) * ((1+ √5)/2)ⁿ liegt.
Der Integrität F_n-1 F_n+1 - F_n² = (-1)ⁿ liegt folgender Trick zugrunde: Man zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge gleich einer Fibonacci-Zahl mit geradem Index (z.B. F₈) und unterteile es dann in folgender Weise:

Die Teile lassen sich wieder zu einem Rechteck zusammenfügen, dessen Flächeninhalt 65 beträgt. Woher ist die zusätzliche Einheit gekommen?
Der Trick ist: Die Diagonale der zweiten Figur ist eigentlich ein langes schmales Parallelogram mit dem Flächeninhalt eins. Die Diagonale erscheint als gerade Linie, weil die Steigungen der Parallelogramm-seiten gleich erscheinen, sie betragen 3/8 und 2/5. Mit einer größeren Fibonacci-Zahl wäre die Täuschung noch besser.
Einfache Ausdrücke für die Summe der ersten n Glieder sowie für die Summe der ersten n geraden / ungeraden Glieder sind bekannt.

F₁+F₂+F₃+F₄+...F_n = F_n+2 -1

F₁+F₃+F₅+F₇+...F_{2n -1} = F_2n

F₂+F₄+F₆+F₈+...F_2n = F_n+1 -1

F₁²+F₂²+F₃²+F₄²+...F_n² = F_n * F_n+1.
Daraus ergibt sich eine Figur, die den Goldenen Schnitt verdeutlicht: Ein Rechteck der Seitenlängen 55:34 (gute Annäherung an den Goldenen Schnitt) wird wie oben in ein Quadrat und ein Rechteck geteilt, das kleinere Rechteck wiederrum und so fort. Die entsprechenden Flächenzahlen entsprechen den Fibonacci-Zahlen.
Diese Zahlen haben auch elegante Teilbarkeitseigenschaften. Teilt m die Zahl n, dann teilt auch F_n die Zahl F_m. Ist der größte gemeinsame Teiler von p und q gleich r, dann ist F_r der größte gemeinsame Teiler von F_p und F_q. Daraus folgt, daß zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen stets relativ prim sind.
Jede Primzahl teilt unendlich viele Glieder der Fibonacci-Folge. Ist m eine natürliche Zahl, so gibt es unter den ersten m Fibonacci-Zahlen nur eine, die durch m teilbar ist. Wenn F_n prim ist, ist n auch prim (Ausnahme F₄=3).
Die Fibonacci-Zahlen hängen in überraschender Weise mit dem Pflanzenwachstum zusammen. Blätter wachsen in Spiralform, wobei der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern konstant ist. Die häufigsten Winkel sind: 180°, 120°, 144°, 135°, 138°27', 137°38', 137°27', 137°31'... Es hat den Anschein, als strebe die Folge einem Grenzwert zu. Bezieht man die Winkel auf den Vollkreis, erhält man folgende Brüche: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, und 34/89. Das sind die Brüche, die man erhält, wenn man in der Fibonacci-Folge immer ein Glied überspringt. Die Brüche streben dem Grenzwert φ^-2 zu, einem Winkel von 137°30'28'', der den Umfang des Kreises im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Die kleinsten beiden Brüche findet man nur bei Gräsern, sonst selten. Die häufigste Anordnung, z.B. bei Rosen, folgt dem Schema 2/5 und 3/8. Größere Brüche finden sich bei Tannenzapfen und Sonnenblumen. Werte zwischen 21/34 und 89/144 kommen bei letzterer vor, sogar selten 144/233. Es kann sein, daß eine Pflanze mit kleineren Brüchen beginnt, um im späteren Wachstum zu größeren überzugehen. Eine Erklärung wäre, daß das Keimblatt in den größten freien, ihm zur Verfügung stehenden Raum hineinwächst. Was auch immer, Mathematiker werden sich stets an Beziehungen zwischen Kaninchen und den Pflanzen, die sie verzehren, erfreuen.

5,256 946 404 860...
Volumen der Einheitskugel in der fünften Dimension. Davor beträgt es: dim1=2, dim2=3,1, dim3=4,1, dim4=4,9, dim5= s.o., dim6=5,1 ...kleiner werdend.

6
Die erste Zahl, die nicht Potenz einer Primzahl ist. Sechs ist der Flächeninhalt des ersten pythagoräischen Dreiecks, dessen Seitenlängen 3,4 und 5 betragen.
Die erste vollkommene Zahl. Ihre Faktoren sind 1,2 und 3, deren Summe wieder sechs ergibt. Sie ist die einzige vollkommene Zahl, die nicht Summe von aufeinanderfolgenden Kuben ist.
Sechs ist auch = √(1³+2³+3³), und die einzige Zahl, die die Summe genau drei ihrer Faktoren ist.
Jede Primzahl größer als 5 hat die Form 6n+/- 1.
Jede Zahl, die von der Form 6n -1 ist, besitzt zwei Faktoren, deren Summe durch 6 teilbar ist.
Sie ist die dritte Dreieckszahl, neben der Eins die einzige Dreieckszahl mit weniger als 660 Stellen, deren Quadrat = 36 wieder eine Dreieckszahl ist.
Nimmt man drei aufeinanderfolgende Zahlen, deren größte durch drei teilbar ist, addiert diese Zahlen und zählt die Hiffern des Ergebnisses zusammen (Quersumme). Dies macht man solange, bis eine einstellige Zahl erreicht ist. Dies ist eine Sechs.
Der zweite und dritte Platonische Körper haben beide sechs Flächen und sechs Ecken (Würfel und Oktaeder).
Sechs gleichgroße Kreise können einen gleich großen Kreis in der Ebene berühren. Eine der drei regulären Parkettierungen der Ebene benützt reguläre Sechsecke, zu sehen bei Bienenwaben.
Nimmt man sechs Punkte auf einem Kegelschnitt und bezeichnet sie mit 1-6, so schneiden sich die Verbindungen 1-2 und 4-5, 3-4 und 6-1 sowie 5-6 und 2-3. Alle drei Schnittpunkte liegen auf einer Geraden.

7
Die Woche hat sieben Tage, zusammenhängend mit den 14 bzw. 28 Tagen eines Mondmonats. Sieben steht am Anfang einer arithmetischen Folge von sechs Primzahlen: 7, 37, 67, 97, 127, 157. Sieben ist die dritte Mersenne-Zahl (2³-1) und die zweite Mersennesche Primzahl und führt deshalb zur zweiten vollkommenen Zahl.
Sind a und b die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, so teilt sieben eine der Zahlen a, b, a+b oder a-b.
Alle genügend große Zahlen lassen sich als Summe von sieben positiven Kuben darstellen.
Zur Teilbarkeit einer Zahl durch sieben muß man folgendermaßen vorgehen: Man multipliziere die am weitesten links stehende Ziffer mit drei und addiere zum Ergebnis die nächstfolgende Ziffer. Diesen Vorgang wiederhole man so lange als möglich. Ist das Endergebnis durch sieben teilbar, so ist auch die Ausgangszahl durch sieben teilbar. Eine andere Möglichkeit ist, die am weitesten rechts stehende Ziffer mit fünf multiplizieren und dann die nächste Ziffer zur Linken addieren und diesen Vorgang immer wiederholen.
Sieben Farben reichen aus, um jede Karte, die auf einen Torus aufgemalt ist, einzufärben. Dies wußte man bereits vor der Lösung des Vierfarbenproblems bei ebenen Karten (siehe 4).
Will man ein Rechteck so in kleine Rechtecke unterteilen, daß diese alle nicht-kongruent sind, aber denselben Flächeninhalt haben, so braucht man dazu sieben Rechtecke.
Ein stumpfer Winkel läßt sich nicht in weniger als sieben spitze Winkel unterteilen.
Das reguläre Siebeneck ist das reguläre Vieleck mit der kleinsten Eckenzahl, das nicht mehr mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Sieben ist die kleinste Zahl, für die Periode ihre Kehrwertes im Dezimalsystem maximale Länge besitzt: 1/7= 0,142 857 142 847...

8
Der zweite Kubus (2³), der einzige Kubus, der um genau eins kleiner ist als eine Quadratzahl (3²-1). Die einzige Potenz, die sich um genau eins von einer anderen Primzahlpotenz unterscheidet. Die sechste Fibonacci-Zahl, neben Eins die einzige Kubikzahl, die in der Fibonacci-Reihe auftritt. Der dreidimensionale Raum wird durch drei Ebenen in allgemeiner Lage in acht Quadranten zerlegt.
Eine Oktave umfaßt acht Ganztonschritte.
Eine Zahl ist durch Acht teilbar, wenn die Zahl, die von den letzten drei Ziffern der Ausgangszahl gebildet wird, durch acht teilbar ist.
Magische Würfel sind Würfel, bei denen sich in allen Zeilen, Spalten, Schichtdiagonalen und auch Raumdiagonalen durch den Würfelmittelpunkt dieselbe Summe ergibt. Magische Würfel mit der Kantenlänge 3 und 4 gibt es nicht, bei 5 und 6 weiß man es nicht. Es gibt jedoch Magische Würfel mit der Kantenlänge 7 und 8. In den 30er Jahren wurde eine Methode entdeckt, mit der man magische Würfel im achtdimensionalen Raum konstruieren kann.
Acht dient dem Oktalsystem als Basis, das vieles von der Einfachheit des dualen Systems hat. Alle in ihm auftretenden Ziffern sind Potenzen von zwei. Selbst für die Darstellung großer Zahlen braucht man keine absurd lange Ziffernfolgen. Die Zahl 100 wird zu 144, im Dualsystem zu 1100100. Oktalzahlen lassen sich besser merken, weil sie kürzer sind. Die entsprechenden Dualzahlen lassen sich leicht herleiten, indem man die oktalen Ziffern durch ihre dualen Entsprechungen ersetzt (Bsp. oben). Die Argumente für das Oktalsystem sind aber schwächer wie die für das Duodezimalsystem (siehe 12). In Computern wurde das Oktalsystem trotzdem häufig verwendet, bis in den 60er Jahren IBM das Hexagesimalsystem zur Basis 16 einführte.
Ein Deltaeder ist ein Polyeder, dessen Flächen dreieickig sind. Es gibt unendlich viele Deltaeder, denn auf jeder Seitenfläche eines Deltaeders kam man eine dreieckige Pyramide aufsetzen. Allerdings existieren nur acht konvexe Deltaeder, z.B. Tetraeder, Oktaeder und Dedekaeder. Zwei weitere erhält man, wenn man entweder zwei Tetraeder an einer Seitenfläche aneinanderklebt oder zwei fünfeckige Pyramiden an ihrer Grundseite verklebt.
Das Oktaeder besitzt acht dreieckige Grundflächen, sechs Kanten und zwölf Ecken, es ist somit dual zum Würfel, der acht Kanten, sechs Flächen und zwölf Ecken hat. Verbindet man die sechs Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels miteinander im Raum, erhält man einen Oktaeder. Umgekehrt führt die Verbindung der acht Mittelpunkte der Seitenflächen eines Oktaeders zu einem Würfel.

9
Die dritte Quadratzahl und die Summe zweier Dreieckszahlen. Im Ternärsystem (Basis 3) ist neun 100. Mit acht zusammen das einzige Paar4 von Potenzen, die nur um Eins differieren. Neun ist die einzige Quadratzahl, die gleich der Summe zweier aufeinanderfolgenden Kuben ist: 1³+2³. Neun ist die vierte glückliche Zahl und nach Eins die erste glückliche Quadratzahl: 9=1!+2!+3!.
Neun ist die erste Kaprekar-Zahl: 9²=81 und 8+1=9 (siehe 297).
Es gibt neun reguläre Polyeder, das sind die fünf Platonischen Körper und die vier Sternpolyeder von Kepler und Poinsot. Man braucht mind. neun verschiedene Quadrate mit natürlichzahligen Seitenlängen, wenn man ein Rechteck so unterteilen will, daß lauter unterschiedliche Qadrate mit natürlichzahligen Seitenlängen entstehen. Das kleinste Rechteck, für das dies möglich ist, ist 32:33. Die zugehörigen Quadrate haben die Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.
Die Höhenfußpunkte, die Seitenmitten und die Mittelpunkte der Höhenabschnitte zwischen den Ecken und dem Höhenschnittpunkt im Dreieck liegen alle auf einem Kreis. Dieser Kreis berührt den Inkreis des Dreiecks sowie dessen drei Ankreise, was Feuerbach 1822 herausfand (=Feuerbachscher Kreis).
Eine Zahl ist durch neun teilbar, wenn neun deren Quersumme teilt.
Die Prüfung von Summen durch die "Neunerprobe": Alle Summanden sowie die summe werden durch ihre Quersummen ersetzt. War die ursprüngliche Summe Korrekt, so stimmt auch die Addition der Quersummen.
Paßt ein runder Stift in ein eckiges Loch besser als ein eckiger Stift in ein rundes Loch? Oder: Welches Verhältnis ist größer, das eines Kreises zu dem umbeschriebenen Quadrat oder das eines Quadrates zu dem ihm einbeschriebenen Kreis? Im zweidimensionalen findet man für die Verhältnisse π/4 bzw. 2/π. Ein runder Stift paßt also besser in ein quadratisches Loch. Diese Antwort ist aber nur in den Dimensionen ≤9 richtig. Für n größer neun paßt der n-dimensionale Einheits-Würfel besser in die Einheitssphäre als andersrum.
Es gibt keine Anordnung von sieben oder acht Geraden, in der auf jeder Geraden drei Schnittpunkte liegen und sich in jedem Schnittpunkt genau drei Geraden schneiden, was sich geometrisch nicht realisieren läßt. Mit neun Geraden gibt es drei wesentlich verschiedene Anordnungen dieser Art. Die erste ist die Konfiguration aus dem Satz von Pappus.
Ein bis heute ungelöstes Problem ist folgende Vermutung: "Eine ganze Zahl ist entweder ein Kubus oder gleich der Summe von 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 Kuben. Eine ganze Zahl ist auch entweder ein Biquadrat oder gleich der Summe von 2, 3, ..., 19 Biquadraten. In analoger Weise geht es weiter."
Magische Quadrate: Die ersten neun Zahlen lassen sich in einem Quadrat anordnen, daß man in allen Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe = 15 erhält. Die fünf nimmt als Mitte zwischen 1 und 9 auch die Mitte des Feldes ein. Alle vier Linien, die man durch Zentralfeld legen kann, enthalten Teile einer arithmetischen Folge, deren Zuwächse 1, 2, 3 und 4 sich gegen den Uhrzeigersinn von 6-5-4 nach 9-5-1 bewegen. Die Summe der Quadrate der Zahlen in der ersten und dritten Spalte sind gleich: 4²+3²+8² = 2²+7²+6². Es gibt acht Möglichkeiten, wie man fünfzehn als Summe dreier Zahlen zwischen 1 und 9, die zudem verschieden sein sollen, darstellen kann. Jede dieser Möglichkeiten tritt genau einmal im magischen Quadrat auf.

9,869 604 ... π² = irrationale Zahl.

10
Die dritte Dreieckszahl: 10=1+2+3+4. In einem Bowlingfeld gibt es 10 Kegel. Zehn ist die einzige Dreieckszahl, die gleich der Summe aufeinanderfolgender ungerader Quadratzahlen ist. Zehn ist die dritte Pyramidenzahl (1+3+6), unter zehn aufeinanderfolgenden natürichen Zahlen gibt es immer mind. eine, die zu allen anderen relativ prim ist.
10!=6!*7! (die einzige Lösung der Gleichung n!=a!*b!.
Zehn ist die Basis unseres Zahldarstellungssystems und der dekadischen Logarithmen.
In der nebenstehenden Abbildung treten alle fettgedruckten Ziffern genau einmal in jeder Zeile und in jeder Spalte auf. Dasselbe gilt für kursiv gedruckte Ziffern.
Darüber hinaus kommt jede Zahl zwischen 00 und 99 genau einmal vor.
Im Satz von Desargues tritt eine Figur auf, die aus 10 Geraden besteht, wobei auf jeder Geraden drei Punkte liegen und durch jeden dieser Punkte drei Geraden gehen.
Man nehme eine Zahl und bilde das Produkt ihrer Ziffern. Dies wiederholt man, falls möglich, mit der resultierenden Zahl, bis man bei einer einstelligen Zahl angelangt ist.
Die Anzahl der Schritte wird multiplikative Beharrlichkeit der Ausgangszahl genannt. Zehn ist die kleinste natürliche Zahl, deren multiplikative Beharrlichkeit gleich 1 ist. Zu den Werten 2-8 gehören folgende Zahlen: 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 267889.
Die kleinste Zahl mit der multiplikativen Beharrlichkeit 11 lautet: 277 777 788 888 899. Es gibt keine Zahl kleiner als 1050, deren multiplikative Beharrlichkeit größer als 11 ist. Man nimmt an, daß es für die multiplikative Beharrlichkeit der natürlichen Zahlen eine Obergrenze gibt.
Die Ägypter teilten Zahlen noch mit, indem sie Symbole für die Potenzen für zehn anordneten. Das ist genauso unhandlich wie das alte römische Zahlensystem. Heute verwendet man Bündelungen von Zehner sowie die Abwandlungen, die zwei, acht, zwölf oder 16 als Basis benutzen, mit den beiden Prinzipien, die Ziffer Null und ein Stellenwertsystem zu benutzen.
Die Zehn ist aber keine geeignete Basis für ein System, indem Händler kleine Quantitäten messen wollen, insbesondere Bruchteile des Ganzen, da im Zehnersystem nur die Hälfte und ein Fünftel durch glatte Zahlen auszudrücken sind. Deshalb entwickelte sich in Europa eine große Zahl von Maßen, die auf verschiedenen Einheiten beruhen, in denen Achtel, Zwölftel, Zwanzigstel, Vierundzwanzigstel vorkamen, nur keine Zehntel. Erst 1791 empfahl die Pariser Akademie der Wissenschaften ein metrisches System vor. Heute beziehen sich alle wissenschaftlichen Messungen auf das metrische System.
Die Oktave entspricht dem Verhältnis 2:1. Halbiert man die Länge einer Saite, klingt diese eine Oktave höher. Das Vehältnis 3:2 entspricht einer Quinte, 4:3 einer Quarte. Weniger harmonisch klingende Intervalle lassen sich mit Hilfe größerer Zahlen repräsentieren. Ein Ganzton ist gleich der Differnz zwischen einer Quinte und einer Quarte, er entspricht dem Verhältnis 9:8. Dieses ist gleich 3:2 dividiert durch 4:3. Die Konstruktion einer vollständigen Tonleiter ist sehr komplex und hat die Musiker bis heute beschäftigt. Eine festgelegte Tonleiter wie beim Klavier kann unmöglich alle perfekten Quinten und Quarten enthalten, die der Musikant gerne spielen möchte. Hier ist die Violine dem Klavier überlegen. Die Lösung, die Oktave in 12 gleiche Töne zu unterteilen, läßt sich weder auf dem Klavier noch auf der Violine vollkommen realisieren.
Wir beschränken uns heute nicht mehr auf natürliche Zahlen. Dennoch spielen die ganzen Zahlen in der Komplexität der modernen Wissenschaften eine zentrale Rolle. Warum wird z.B. die Schwerkraft bei doppelter Entfernung auf ein Viertel reduziert und nicht auf annähernd ein Viertel? Wahrscheinlich wegen der Dreidimensionalität des Raumes.

11
Primzahl und kleinste Repunitzahl. Das ist eine Zahl, deren Ziffern alle Einheiten sind. Wie jede Repunitzahl ist elf durch das Produkt ihrer Ziffern teilbar.
Eine Zahl ist durch elf teilbar, wenn die Wechselquersumme durch elf teilbar ist. Die Wechselquersumme erhält man, wenn man die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert, von einem der beiden Enden ausgehend. Elf ist die einzige palindromische Primzahl mit einer geraden Anzahl von Ziffern. Unter vier beliebige Zahlen größer elf, die aufeinanderfolgen, ist immer mind. eine, die durch eine Primzahl größer als elf teilbar ist.
Gemäß der neuesten physikalischen Theorie, der sog. Supersymmetrie, läßt sich der Raum am einfachsten als elfdimensional beschreiben. Sieben davon sind in sich selbst gekrümmt. Ihre physikalischen Auswirkungen lassen sich nur in heute noch unzugänglichen Bereichen, milliardenfach kleiner als die subatomaren Teilchen, beobachten.
Eine weitere merkwürdige Idee, die mit der Supersymmetrie verknüpft ist, besagt, daß die Grundbestandteile von Raum und Kraft sog. Superstrings sind und die verschiedenen Arten von fundamentalen Teilchen den verschiedenartigen Vibrationen dieser Strings entprechen, ähnlich wie die Saiten einer Violine.
Lucas-Zahlen: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322 ...
Die Folge hängt eng mit der Fibonacci-Folge zusammen. Jedes Glied ist die Summe der beiden unmittelbar vorangehenden Glieder, das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder strebt dem Goldenen Schnitt zu. Es ist merkwürdig, daß auch die Lucas-Folge eine einfach zu behaltende Konvergenz gegen φ zeigt. Die Formel für das allgemeine Glied dieser Folge ähnelt der für die allgemeine Fibonacci-Zahl: L_n = [(1+√5)ⁿ/2ⁿ]+ [(1-√5)n / 2²] oder Ln = an + bn, wobei a und b die Wurzeln der Gleichung x²=x+1 sind.
Die Lucas-Zahlen lassen sich als Summe zweier Fibonacci-Zahlen darstellen: L_n = F_{n -1} + F_{n + 1}
Quadriert man die Fibonacci-Zahlen und addiert bzw. subtrahiert dann abwechselnd vier, erhält man die Lucas-Zahlen:
5*1²-4=1²    5*2²-4=4²    5*1²+4=3²    5*3²+4=7²   usw.

12
12 Monate/Jahr, 2x12 Stunden/Tag. Zwölf ist durch die Summe als auch durch das Produkt ihrter Ziffern teilbar. Multipliziert man die echten Teiler von zwölf miteinander, ergibt sich 12²=144. Daraus folgt, wenn man alle Ziffern umkehrt, 21²=441! (Ebenso 13³=169 => 31²=961)

12 gleichgroße Kugelflächen können mit einer gleichartigen Kugel in Berührung gebracht werden. Dabei berührt jede der äußeren Kugeln neben der Zentralkugel noch vier andere. Für höhere Dimensionen lauten die entspr. Anzahlen:

Dimension	4	5	6	7	8	9	10
Anzahl	24	40	72	126	240	272	306

Die zueinander dualen Polyeder Würfel und Oktaeder besitzen beide 12 Kanten.
12 ist die erste abunante Zahl. Das ist eine Zahl, die kleiner ist als die Summe aller ihrer Teiler (sich selbst ausgeschlossen): 1+2+3++4+6=16. Danach kommen 18, 20, 24, 30, 36...
Es sind im wesentlichen Zahlen mit hinreichend vielen verschiedenen Primfaktoren. Eine Zahl ist defizient, wenn die Summe ihrer Teiler, die Zahl selbst ausgenommen, kleiner ist als die fragliche Zahl. Alle Primzahlen und alle Potenzen von Primzahlen sind defizient. Die am wenigsten defizienten Primzahlpotenzen sind Potenzen von 2. Die Teiler von 2ⁿ summieren sich nämlich, schließt man 2ⁿ selbst aus, zu 2ⁿ-1, also eins weniger als 2ⁿ. Sie werden als fast vollkommen bezeichnet. Die Grenze zwischen abundanten und refizienten Zahlen markieren die seltenen vollkommenen Zahlen, die genau gleich der Summe ihrer Teiler sind. Alle Vielfachen von abundanten oder vollkommenen Zahlen sind abundant. Jeder Teiler einer vollkommenen oder defizienten Zahl ist selbst wieder defizient.
Das Duodezimalsystem zur Basis 12 läßt Angaben von Drittel, Viertel und Sechstel sehr einfach darstellen. Es ist auch leicht, die Teilbarkeit von Zahlen durch 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 oder 24 zu testen. Im Dezimalsystem entsprechen diesen Tests die Teilbarkeitsregeln für 2, 5, 10 und 20. Das waren wichtige Vorteile, als das Rechnen noch eine schwer zu erlernende Kunst war, so daß sich in ganz Europa das Dezimalsystem mit anderen System vermischte. Bei wissenschaftlichen Berechnungen der Römer wurde auch das auf 60 aufbauende Sexagesimalsystem verwendet. Weil 60=5x12 ist, hat dieses System die Vorzüge des Dezimal- wie auch des Duodezimalsystems.
Auch heute ist die Bezeichnung "Dutzend" gebräuchlich. "Dutzende" steht dagegen eher für "ziemlich viele". Das Gros oder Dutzend-Dutzend ist nicht mehr gebräuchlich.
1944 wurde in Amerika die Duodezimal-Gesellschaft gegründet, mit dem Ziel, das öffentliche Rechnungswesen und die mathematische Ausbildung zu untersuchen mit besonderer Berücksichtigung der Basis Zwölf beim Zählen, in der Mathematik, bei Maßen und Gewichten un din allen anderen Sparten der reinen und angewandten Naturwissenschaft. Sie schlug vor, den Buchstaben X für die Ziffer 10 und den Buchstaben E für die Ziffer 11 zu verwenden. Jeder könne in einer halben Stunde lernen mit Dutzenden zu zählen. Sie vertrat die Auffassung, die Bezeichnungen Dezimalkomma und -punkt seien, wenn es um andere Basen als Zehn ginge, vollkommen unangebracht. Trotz des Enthusiasmus wurde nie auch nur der leisteste Ansatz zur Einführung des Duodezimalsystems gemacht.
Der 4. Platonische Körper, das Dodekaeder, hat 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten, es ist zum Ikosaeder dual. Verbindet man die Mittelpunkte von benachbarten Flächen des Dodekaeders miteinander, entsteht ein reguläres Ikosaeder. Das Ikosaeder ist ein Antiprisma mit fünfeckigen Enden, auf das zwei fünfeckige Pyramiden aufgesetzt sind. Werden gegenüberliegende Kanten des Antiprismas miteinander verbunden, entstehen drei Dreiecke, deren Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnitts zueinander stehen und die miteinander rechte Winkel bilden.
Beschreibt man in ein- und dieselbe Kugel ein Dodekaeder und ein Ikosaeder, so nimmt das Dodekaeder einen größeren Raum als das Ikosaeder ein, obwohl letzteres mehr Flächen besitzt. Das Dodekaeder umfaßt 66,5% des Kugelvolumens, das Ikosaeder nur 60,56 %.
Der rhombische Dodekaeder hat auch 12 Flächen. Die sechs Würfel, die an einen bestimmten Würfel angrenzen, lassen sich alle in Pyramiden zerlegen, wenn man ihren Mittelpunkt mit den verbindet. Werden diese Pyramiden mit dem Würfel in der Mitte verklebt, entsteht ein rhombischer Dodekaeder, der den Raum lückenlos ausfüllt und das doppelte Volumen hat wie das des Ausgangswürfels.

13
Die Unglückszahl, obwohl es die fünfte glückliche Zahl ist. Trikaidekaphobia heißt die "Angst vor der 13". Das Jahr umfaßt 13x4 Wochen. Im Kartenspiel gibt es 13 Karten einer Farbe.
13 ist die zweitkleinste Primzahl p, deren Kehrzahl die Periode 1/2 (p-1) besitzt: 1/13 = 0,076 923 076 923... Genau die Hälfte aller Vielfachen von 1/13 zwischen 1/13 und 12/13 besitzen Perioden, die zyklische Permutationen der obigen Ziffernkette darstellen. Die anderen haben Perioden, die zyklische Permutationen von 153 846 sind. Die obige Ziffernfolge enthält ein Muster, das wesentlich deutlicher wird, wenn man die Ziffern 0-9 gleichmäßig auf ein Kreis aufteilt und die Folge 076923 verbindet.
Es gibt 13 Archimedische Körper, die semiregulär sind, weil ihre Ecken und Kanten gleichartig, ihre Flächen aber verschiedenartig sind. Zwei Klassen von semireguläre Polyeder haben unendlich viele Mitglieder: Es sind die regulären Prismen und die regulären Antiprismen.
Zum Satz des Pythagoras wurden mehr Beweise veröffentlich als zu jedem anderen Satz. Das Dreieck mit den Kanten 3-4-5 ist das erste Mitglied einer unendlichen Menge. Das nächste wäre 5-12-13, danach 7-24-25. (6-8-10 ist ein Vielfaches von 3-4-5). Neben dem 3-4-5-Dreieck gibt es noch mind. ein anderes, dessen Fläche sich mit Hilfe einer einzigen Ziffer ausdrücken läßt: 693-1924-2045, dessen Fläche 666 666 ist. Ein Sechstel der Flächeninhalte aller pythagoräischen Dreiecke endet mit der 6, ein weiteres Sechstel endet auf 4, die restlichen 2/3 besitzen einen Inhalt, der auf 0 endet.
Es gibt unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, daß sich die Längen von Hypotenuse und einer Kathede um genau eins unterscheiden. (3²+4²=5² / 5²+12"=13² ...)
Es gibt auch unendlich viele, deren Katheden um eins differieren.
Pythagoräische Tripel lassen sich einfach bestimmen, indem man zwei aufeinanderfolgende gerade oder ungerade Zahlen nimmt und deren Kehrwerte addiert: 1/3+1/5=8/15. 8 und 15 sind die Längen der Katheten eines Rechtwinkligen Dreiecks: 8²+15²=17².

14
14 und 15 sind das erste Paar aufeinanderfolgender Zahlen, deren Summe ihrer Teiler, die Zahlen selbst eingeschlossen, gleich sind: 1+2+7+14=1+3+5+15=24

15
Die erste Zahl gleich dem Produkt zweier Primzahlen. Die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen des kleinsten magischen Quadrates. Fünfte Dreieckszahl. Das Pool-Billiard hat fünfzehn Kugeln im Dreieck.
Dreieckszahlen stammen von den Griechen. Sie bilden diese Zahlen, indem sie Summen der Form 1+2+3+4+5... ausrechnen. Die n-te Dreieckszahl Tn wird durch die Formel 1/2n (n+1) gegeben. Dreieckszahlen sind die einfachsten Polygonalzahlen. Jede Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen. Jede ungerade Quadratzahl ist gleich dem achtfachen einer Dreieckszahl + 1.
Jede Fünfeckszahl läßt sich auf besonders einfache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen darstellen (siehe Skizze (die ich allerdings nicht mehr finde, deshalb hier doch keine Skizze)).
Die Reihe der Kehrwerte der Dreieckszahlen konvergiert: 1+1/3*1/6+1/10+1/15+1/21...=2
15 und 21 sind das erste Paar von Dreieckszahlen, deren Summe und Differenz (6/36) wieder Dreieckszahlen sind. Das nächste kommt erst bei 780 / 990, dann erst bei 1 747 515 / 2 185 095.

Sechs ist die einzige Dreieckszahl außer Eins mit weniger als 660 Stellen, deren Quadrat wieder eine Dreieckszahl ist. 1, 36, 1225, 41 616, 1 413 721 usw. sind Zahlen, die Quadrat- sowie auch Dreieckszahlen sind.
Im Bereich bis zu 10⁷ gibt es 40 palindromische Dreieckszahlen. Die kleinsten sind neben 1, 3 und 6 die Zahlen 55, 66, 171, 595, 666 und 3003. Die 2662te Dreieckszahl ist 3544453, so daß Zahl als auch ihr Index palindromisch sind. Analoges gilt für die 1111te und 111.111te Dreieckszahl, die 617.716 und 6.172.882.716 betragen.

16
Die erste Quadratzahl, die sich auf zwei Arten als Summe zweier Dreieckszahlen darstellen läßt: 16=6+10=1+15. Alle Zahlen, die hinreichend groß sind, lassen sich als Summe von höchstens 16 vierten Potenzen darstellen. 16 ist die einzige Zahl, die zugleich Umfang wie auch Flächeninhalt desselben Quadrates ist.
Als Basis des Hexadezimalsystem ist 16 seit der Einführung der elektronischen Computer üblich.
Die ersten 16 Zahlen lassen sich in einem magischen Quadrat in vielerlei Weise anordnen. Es gibt davon 54. Viele haben weitere elegante Eigenschaften. Beim folgenden Quadrat ist die Summe der Kuben der Zahlen, die in einer Diagonalen stehen, gleich 4624=68². Die Summe der Zahlen der ersten und vierten Spalte ist gleich, ebenso auch die der zweiten und dritten Spalte, auf die erste und vierte bzw. zweite und dritte Zeile.

12	13	1	8
6	3	15	10
7	2	14	11
9	16	4	5

Bei Computern ist das Hexadezimalsystem üblich, dabei werden zu den Ziffern noch die Buchstaben A-F hinzugenommen. 6C5 steht für 5 Einer, 12 Sechzehner und 6 Sechzehner zum Quadrat. Also 5+12*16+6*256=1733.
Weil 16=2⁴ ist, lassen sich Hexagesimalzahlen sehr einfach ins Dualsystem umrechnen. Jede Ziffer muß einfach im Dualsystem ausgedrückt werden, wobei führende Nullen hinzuzufügen sind, damit immer vierstellige Ziffernblöcke entstehen. Für die erste Stelle ist dies nicht nötig. Die erste Ziffer 6 ist dual gleich 110, die zweite C = 12 entspricht 1100 und 5 ergibt 101, was zu 0101 ergänzt wird. So wird aus 6C5 = 11 011 000 101.
16 ist fast vollkommen, weil sich ihre Teiler zu 16-1 aufaddieren. Alle Zweierpotenzen sind fast vollkommen. Ob es auch ungerade fast vollkommene Zahlen gibt, ist natürlich unbekannt. Natürlich, weil die Existenz von Vollkommenheit aller Art bei ungeraden Zahlen fast immer unbekannt ist. Ergeben die Faktoren einer Zahl zusammengezählt (die Zahl selbst ausgeschlossen) eine Summe, die um eines größer ist als die fragliche Zahl, nennt man diese quasi-vollkommen. Jede quasi-vollkommene Zahl ist Quadrat einer ungeraden Zahl, ist also selbst ungerade. Es ist aber bis jetzt keine quasi-vollkommene Zahl bekannt. (siehe auch 28). Wenn es eine quasi-vollkommene Zahl gibt, dann muß sie sehr groß sein (größer als 10³⁵) und mind. sieben Primfaktoren besitzen.

17
Die siebte Fermatsche Primzahl. Im Alter von 17 Jahren bewies Gauß, daß man ein reguläres Polygon nur dann mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, wenn diessen Seitenzahl gleich einem Produkt aus lauter verschiedenen Fermatschen Primzahlen der Form 2^{2^n} +1 ist. Daraus folgt, daß man das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Die Periode von 1/17 hat maximale Länge: 16 Stellen nach dem Komma.
Siebzehn ist gleich der Quersumme seines Kubus 4913. Die einzigen weiteren derartigen Zahlen sind 1, 8, 26 und 27, davon sind drei selbst Kuben.
Die Pythagoräer hatten Angst vor der 17, weil sie zwischen 16 und 18 liegt, die die einzigen Werte sind, für die der Umfang eines Rechtecks gleich dessen Fläche ist.

18
18=9+9    81=9*9. Ein analoger Zusammenhang gibt es in jedem Zahldarstellungssystem, z.B. zur Basis acht: 7+7=16 und 7*7=61.
Die dritte und vierte Potenz von 18 haben die Eigenschaft, daß alle Ziffern zw. Null und Neun genau einmal darin auftreten: 18³=5832, 18⁴=104976.
18 ist gleich der Quersumme ihrer dritten Potenz= 5832.

19
Auch der Kehrwert von 19 hat maximale Länge, also 18 Stellen.
Die Teilbarkeit durch 19: 100a+b ist dann durch 19 teilbar, wenn a+4b durch neunzehn teilbar ist.
Es gibt nur eine Möglichkeit, wie man aufeinanderfolgende Zahlen in einem magischen Sechseck, bei dem sich in allen drei Richtungen gleiche Summen ergeben, anordnen kann. Die Zahlen 1-19 lassen sich darin anordnen.
Jede natürliche Zahl läßt sich als Summe von max. 19 vierten Potenzen darstellen.

20
Die vierte Tetraederzahl, da die Summe der ersten vier Dreieckszahlen (20=1+3+6+10).
Ein Ikosaeder hat 20 Flächen, das duale Dodekaeder 20 Seiten. 20 ist die 2. semi-vollkommene Zahl, sie ist gleich der Summe einiger seiner Teiler: 20=10+5+4+1.
Die kleinste ist 12, zugleich die erste abundante Zahl. Die nächsten sind 24 und 30.
Das Zählen zur Basis 20 ist das Vigesimalsystem, es wurde von den Mayas zur Kalenderbestimmung und Astronomie verwendet, die außerdem auch schon die Null verwendeten. Auch im alten englischen Währungssystem waren 20 Shilling ein Pound.

21
Die sechste Dreieckszahl. Die Gesamtzahl der Punkte auf einem gewöhnlichen Würfel.
Endet eine Quadratzahl mit der Folge xyxyxyxyxy, so lautet die Folge xy entweder 21 oder 61 oder 84. Das kleinste Bsp. ist 508 853 989²=258 932 382 121 212 121.
21 ist die Minimalanzahl von verschiedenen Quadraten, in die man ein Quadrat zerlgen kann. Die Kantenlängen des zerlegten Quadrates beträgt 112.

22
Die Anzahl von 22! beträgt genau 22, was sonst nur noch für 23 und 24 gilt.
22 ist die Maximalanzahl von Teilen, in die man einen Pfannkuchen durch sechs Schnitte zerlegen kann.
Dabei ergibt sich bei steigender Schnittzahl folgende Reihe:

Schnitte	2	3	4	5	6	7	8	9
Teile	2	4	7	1?	16	22	29	37

22 sowie ihr Quadrat 484 sind palindromisch. Viele kleinere Zahlen haben diese Eigenschaft (z.B. 11, 111, 1111, 121, 212 usw.).
22 ist die vierte Fünfeckszahl, die mit 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... beginnen. Die n-te Fünfeckszahl ist 1/2 n (3n-1). Fünfeckszahlen kann man nach Art der Pythagoräer als Punktmuster darstellen, wobei sich immer größer werdenden Fünfecke ergeben. (vgl. 15). Für negative Zahlen für n ergibt die es Reihe 2, 7, 15, 26, 40...
Ordnet man alle Zahlen in aufsteigender Reihe, erkennt man in den Differenzen eine Regelmäßigkeit:
1 2 5 7 12 15 22 26 35 40 51 57 70 77 92 100
Die Differenzen zwischen den Zahlen lauten: 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8. Überspringt man je eine Zahl, erhält man die natürlichen geraden und ungeraden Zahlen.

22,459 157 718 361 045 473 427 152 ...:
π^e. Man weiß nicht, ob sie rational oder irrational ist.

23
Eine der beiden natürlichen Zahlen, für deren Darstellung als Summe von Kuben man tatsächlich neun dritte Potenzen braucht (wenn sie positiv sein sollen). Die andere Zahl ist 239.
Die vierte Primzahl, deren Kehrwert eine Periode maximaler Länge besitzt. 23 ist die Minimalanzahl von starren Stäben mit Einheitslänge, die man braucht, um ein Quadrat zu versteifen. Sie ist außerdem die größte natürliche Zahl, die sich nicht als Summe von verschiedenen Potenzen darstellen läßt. 23! besitzt 23 Stellen.
Wenn sich 23 Personen oder mehr in einem Raum befinden, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mind. 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben, größer als 1/2 (Wochentag?).

23,140 692 632 779 269 005 729 086 ...:    e ^π    Sie ist transzendent.

24
Stunden am Tag. Die Summe seiner Ziffern und durch deren Produkte teilbar. Die kleinste Zahl, bei der das Produkt ihrer echten Teiler ihre Kubikzahl ergibt. Die Summe der ersten 24 Quadratzahlen, die 24. quadratische Pyramidenzahl also, ist selbst eine Quadratzahl (70²). Das ist die einzige Lösung dieser Art von Problemen. Wenn man nicht mit Eins beginnt, gibt es allerdings noch mehr Folgen aufeinanderfolgender Quadratzahlen, die sich zu einer Quadratzahl summieren, z.B. die Folge 18²+...+28²=77².
Ordnet man gleichgroße Kugeloberflächen im 24dimensionalen Raum zu einem Leech-Gitter an, so berührt jede Kugeloberfläche 196560 andere Kugeloberflächen. Das ist mit großer Wahrscheinlichkeit die dichteste Packung von Kugeloberflächen im 24dimensionalen Raum. Geeignete Schnitte durch das Leech-Gitter liefern die dichtesten Packungen von Kugeloberflächen in tieferen Dimensionen, z.B. in der 10., 11, und 13. Dimension.
Fakultäten:
1*2*3*4=24, also ist 24 die vierte Fakultät. Dafür schreibt man 4!. n! wächst sehr schnell. Erst kürzlich wurde 1 000 000! errechnet, sie besitzt 5 565 709 Stellen, der Computerausdruck ist 15cm dick. Es gibt n! Möglichkeiten, n Dinge anzuordnen. Man kann z.B. aus einem Stapel von 52 Karten vier Karten auf 52*51*50*49 Arten auswählen, oder auch 52!/48!, dabei spielt die Reihenfolge gleicher Karten eine Rolle. Spielt sie keine Rolle, so sind alle 4! =24 Möglichkeiten, wie man dieselben Karten ziehen kann, gleichwertig, weshalb man die Gesamtzahl nur noch durch 4! teilen muß. Für diese ergibt sich der Wert 52!/(48!*4!).
Fakultäten lassen sich auch als Basis für Zahldarstellungen verwenden, die nicht von den Potenzen einer festen Zahl abhängt. Dazu dividiert man die darzustellende Zahl durch die größte Fakultät, die kleiner als sie ist. Mit dem Rest wiederholt man dies. Bsp:
2000 = (2*6!) + (4*5!) + (3*4!) + 1*3!) + (1*2!) + (0*1!) = 2*720 + 4*120 + 3*24 + 1*6 + 2*1
Die Fakultätsdarstellung für 2000 ist also 243.110. Die Addition zweier solcher Zahlen ist trickreich, die Multiplikation fast ein Alptraum. Dennoch sind sie manchmal von Nutzen.

25
Eine Quadratzahl und Summe zweier Quadratzahlen (3²+4²). Die Griechen stellten Quadratzahlen als Punktmuster dar.
Will man ein Quadrat in ein anderen überführen, fügt man an zwei anstoßenden Seiten Punkte hinzu (siehe Skizze). Die hinzugefügten Punkte durchlaufen dabei die Folge der ungeraden Zahlen.
Daraus folgt, daß die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer Quadratzahlen sind, wenn man mit eins beginnt.
Jede Quadratzahl ist die Summe zweier Dreieckszahlen (25=10+15).
Auch dies läßt sich in einem Punktgitter darstellen (siehe Skizze).
Alle Potenzen von 25 enden mit 25.

26
Die kleinste nichtpalindromische Zahl, deren Quadrat palindromisch ist:
26²=676.
26 ist die Quersumme seiner dritten Potenz = 17576.

27
Der erste ungerade vollkomone Kubus, abgesehen von Eins. Gleich der Gesamtpunktzahl auf den farbigen Kugeln beim Lochbilliard, denn 27 ist genau eins kleiner als die 7.Dreieckszahl 28. 27 ist die Quersumme seiner dritten Potenz = 19683. Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von höchstens 27 Primzahlen darstellen.

027 ist die Periode von 1/37. Umgekehrt ist 037 die Periode von 1/27 !!
>Vertauscht man die Ziffern eines dreistelligen Vielfachen von 27, ist diese Zahl auch ein Vielfaches von 27 !! Die einzige andere Zahl dieser Eigenschaft ist 37.
Die Syrakus-Folge beginnt mit einer beliebigen Zahl, die durch zwei geteilt wird, wenn sie gerade ist, oder verdreifacht wird, wenn sie ungerade ist, wobei dann noch Eins zum Produkt addiert wird. Dieser Vorgang wird wiederholt. Man hat alle Zahlen bis zu einer Milliarde getestet, und sie endeten alle bei 4-2-1 Unter den ersten 50 Zahlen braucth 27 die meisten Schritte, nämlich 27, die größte Zahl, die auftritt, ist dabei 9232. Es ist noch nicht bekannt, ob alle Zahlen bei eins enden.

28
Mondtage im Mondzyklus. Die 7.Dreieckszahl und die Anzahl Dominosteine in einem gewöhnlichen Spiel. Die erste Dreieckszahl, die gleich der Summe zweier Kuben ist: 1³+3³. Damit ist sie auch die einzige, die gleich der Summe zweier Potenzen mit derselben Hochzahl ist.
Die längste bekannte Kette von befreundeten Zahlen hat 28 Glieder und beginnt mit 12496.
Vollkommene Zahlen:
28 ist nach 6 die 2.vollkommene Zahl. Sie ist gleich der Summe ihrer Teiler, sich selbst ausgeschlossen. 1+2+4+7+14=28. Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 496 und 8128. Alle vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 28. Vollkommene Zahlen findet man, indem man mit Eins beginnend eine Zahlen-Folge addiert, die sich jeweils verdoppelt (d.h. 1+2+4+8+16...). Ist die Summe dieser Folge eine Primzahl, ist das Produkt aus dieser Summe mit dem letzten Folgenglied eine vollkommene Zahl. So ist die Summe 1+2+4+8+16=31, 31*16 aber ist 496, die vollkommen ist.
Alle geraden vollkommenen Zahlen sind Sechseckzahlen und damit auch Dreieckzahlen. Die Summe der Kehrwerte der Teiler einer vollkommenen Zahl ist Zwei.
Jede gerade vollkommene Zahl außer 6 ist Partialsumme der Reihe 1³+3³+5³+7³+... (z.B. ist 496=1³+3³+5³+7³). Außer für sechs ergibt sich, daß alle vollkommenen geraden Zahlen bei der Division durch Neun den Rest Eins haben.
Entdeckt man eine neue Rekord-Primzahl, entdeckt man damit automatisch eine neue vollkommene Zahl. Es folgt die Liste der bisher bekannten vollkommenen Zahlen, dabei bedeutet Mp die p-te Mersennesche Primzahl. Halbfette Schrift deutet an, daß entweder die vollkommene Zahl selbst oder die zu ihr gehörige Mersennesche Primzahl als Eintrag im Hauptteil dieses Lexikons auftaucht. Die größte ist 2²¹⁶⁰⁹⁰ M₂₁₆₀₉₁. Die Abstände werden dabei immer größer. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt.
Ungerade vollkommene Zahlen stellen eine Kuriosität dar. Es ist eine der notorischen ungelösten Probleme der Zahlentheorie. Man weiß bereits eine Menge über ungerade vollkommene Zahlen, was interessant ist, da man ihre Existenz noch nicht sicher weiß. Eine ungerade vollkommene Zahl muß mind. acht verschiedene Primfaktoren besitzen. Ist sie nicht durch drei teilbar, sind es sogar 11. Weiter muß sie durch eine Primzahlpotenz teilbar sein, die größer ist als 10¹⁸. Ihr größter Primfaktor muß größer als 300.000 sein, der zweitgrößte größer als 1.000. Alle ungeraden vollkommenen Zahlen kleiner als 10⁹¹¹⁸ sind durch die sechste Potenz einer Primzahl teilbar.

29
Die Summe von drei vierten Potenzen ist nur dann durch 29 (oder auch durch 5) teilbar, wenn alle Summanden durch 29 (bzw. 5) teilbar sind.

30
Primorial (p) ist dann definiert, wenn p eine Primzahl ist; dann ist primorial p gleich dem Produkt aller Primzahlen kleiner gleich p. Primorial (5) ist 30 (2*3*5). Die kleinste Zahl mit vier verschiedenen Primfaktoren ist primorial (7) (2*3*5*7=210) usw.
30 ist die größte der Zahlen mit der Eigenschaft, daß alle Zahlen kleiner als 30 und relativ prim zu 30 selbst wieder Primzahlen sind.
Es gibt nur zwei pythagoräische Dreiecke, deren Fläche gleich ihrem Umfang ist. Das eine ist das 5-12-13-Dreieck, dessen Fläche und Umfang 30 beträgt. Das andere ist das 6-8-19-Dreieck, dessen Fläche und Umfang 24 ist. 30 beträgt die Fläche des kleinsten Rechtecks, in dem eine Springerrundreise (mit Rückkehr auf das Ausgangsfeld) möglich ist, sowohl auf dem 5x6- als auch auf dem 3x10-Feld. Das kleinste quadratische Brett, auf dem eine solche Rundreise möglich ist, ist das 6x6-Feld.
Das Dodekaeder und das Idosaeder haben beide 30 Kanten.

31
Die fünfte Mersennesche Zahl (2⁵-1)und dritte Mersennesche Primzahl, die zur dritten vollkommenen Zahl führt.
Die Länge der Periode des Kehrwertes ist die erste, die ungerade ist.
Sie beträgt: 0,03 225 806 451 612 903 225...
Man beachte die Produkte:

032258*2=	64516	032258* 9=	290322
032258*4	129032	032258*14=	451612
032258*5=	161290	032258*16=	516128
032258*7	225806	032258*18=	580644
032258*8	258064	032258*19=	621902	usw.

Darüber hinaus ist 0,225+80645+16129=999999 und 032+258+065+416+129=900.
Bekannt ist das Denksportspiel, bei dem auf einem Stab übereinander runde Holzscheiben lieben, die sich nach oben hin immer weiter verjüngen, die kleinste also oben liegt. Daneben sind zwei weitere, leere Stäbe. Die Aufgabe ist es, die Holzscheiben auf einen anderen Stab in diese Reihenfolge zu bringen, dabei darf man aber immer nur eine Scheibe auf einmal bewegen, und eine Scheibe darf nur auf eine größere Scheibe zu liegen kommen. Wenn es sich um fünf Scheiben handelt, braucht man dazu 31 Schritte. Für zwei Scheiben wären es 3 Schritte, für drei schon 7 Schritte. Allgemein: Um n+1 Scheiben von A zu B zu bewegen, muß man zuerst n Scheiben nach C bringen, so daß man die größte Scheibe nach B überführen kann. Dann werden die n Scheiben von C genauso nach B gebracht. Deshalb ist die Anzahl von Zügen, die man in einer bestimmten Situation braucht, genau doppelt so groß plus eins, wie die Anzahl der Züge, die man benötigt hat, um diese Situation zu erreichen. Die Folge der Gesamtzahl von Zügen sieht deshalb so aus: 1-3-7-15-31-63 usw. Für das n-te Glied der Folge gilt 2ⁿ-1. Es ist nützlich, die Scheiben als ungerade und gerade zu bezeichnen. Soll eine ungerade Zahl von Scheiben bewegt werden, muß der erste Zug auf den Zielstab führen. handelt es sich um eine gerade Anzahl, muß man auf den dritten Stab ziehen. In einer indischen Sage handelt es sich um 64 Scheiben. Das wären 2⁶⁴-1 Züge, was 600 Mrd. Jahre dauern würde, wenn jede Sekunde eine Scheibe bewegt würde.

32
1000000 im Dualsystem. Schmelzpunkt von Eis in Fahrenheit.

33
Die größte Zahl, die nicht Summe von verschiedenen Dreieckszahlen ist.
Glückliche Zahlen:
Zuerst streicht man aus der Reihe der natürlichen Zahlen alle geraden Zahlen. Nach eins ist drei die nächste gerade Zahl. Deshalb streiche man jeweils die dritte Zahl der Folge. Es verbleiben jetzt: 1-3-7-9-13-15-19-21-25-27...
Die nächste verbleibende Zahl ist die sieben. Deshalb wird jetzt jede 7.Zahl gelöscht. Die erste zu streichende Zahl ist deshalb die 19. Die Folge der glücklichen Zahlen beginnt also mit 1-3-7-9-13-15-21-25-31-33-37-43-49-51...
Glückliche Zahlen und Primzahlen haben viele Eigenschaften gemeinsam. Das könnte daran liegen, daß man Primzahlen nach einem ähnlichen "Sieb" herausfinden kann: Erst streicht man aus der Reihe der natürlichen Zahlen alle Faktoren von 2, dann die von drei usw.

34
Die magische Konstante des magischen 4x4-Quadrates.

35
Es gibt 35 Hexominos, also Gebilde aus sechs zusammengeklebten Quadraten. Es ist erstaunlich, daß sich keines der Rechtecke 3x70, 5x42, 6x35, 7x30, 10x21 oder 14x15 vollständig mit den 35 Hexominos auslegen läßt, obwohl deren Fläche gerade 210 beträgt.
Es gibt bereits 108 Septominos, von denen eines ein Loch hat, 369 Oktominos (6 mit Loch) und 1285 Nonominos (37 mit Loch).
Die Zahlen des Pascalschen Dreieck sind so wichtig, daß sie hier nicht fehlen dürfen. Die 35 soll hier ihr Vertreter sein. Das Dreieck ist definiert, daß in jeder Zelle die Summe der beiden darüber stehenden steht, wobei in den Randzellen Einsen stehen sollen. Pascal leitete dann 19 Folgerungen ab, eine davon lautet: "In jedem Dreieck gilt, daß die Summe der Zellen einer Basis eine Zahl ist, die gleich dem Doppelten einer mit Eins beginnenden Progression ist." D.h., daß die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile 2ⁿ ergibt (die oberste Zeile wird eigentlich weggelassen, sie ist die 0te Zeile).
Die erste Diagonale enthält Einsen, die zweite die natürlichen Zahlen, die dritte die Dreieckszahlen, die vierte die Tetraederzahlen (1, 4, 10, 20, 35..., vorstellbar als die Anzahl von Kugeln, die man in dreieckige Pyramiden zunehmender Größe hineinpacken kann). Die nachfolgenden Diagonalen lassen sich als höherdimensionale Anordnungen interpretieren, beginnend mit der vierten Dimension. Um Kombinationen zu erhalten (z.B. auf wieviele Arten kann man drei Gerichte aus einem siebengängigen Menü auswählen), so muß man nur die vierte Zahl in der 7.Reihe aufsuchen. Das ist 35.
Eine andere Eigenschaft: Die Einträge in p-ten Zeile sind mit ausnahme der Einsen nur dann durch p teilbar, wenn p eine Primzahl ist.
Die "kurzen Diagonalen" 1, 1-1, 1-2, 1-3-1, 1-4-3, 1-5-6-1 ... ergeben summiert die Fibonacci-Folge 1-1-2-3-8... Es gibt unendlich viele Zeilen , die drei Zahlen in arithmetischer Progression enthalten (z.B. 7-21-35), die nächsten sind 1001-2002-3003 und 490314-817190-1144066. Allerdings gibt es keine Zahlentripel, die in geometrischer oder harmonischer Progression stehen.
Jeder Eintrag ist gleich der Summe einer der beiden Diagonalen, die unmittelbar über ihm beginnen und sich nach der längeren Seite hin zum Rand des Dreiecks erstrecken.
Das harmonische Dreieck von Leibniz ist anders aufgebaut: hier steht an der Spitze 1/1, die Diagonalen werden durch die Kehrwerte der Reihe der natürlichen Zahlen gebildet (1/2, 1/3, 1/4...), jeder Bruch im Schema ist die Summe der unmittelbar darunter stehenden Brüche. Die in einer Zeile ergebenden Brüche ergeben sich, wenn man den Anfangsterm der Zeile durch die Einträge in der entsprechenden Zeile des Pascalschen Dreiecks dividiert. Jeder Bruch ist gleich der summe der unendlichen Reihe, die unmittelbar links unter ihm beginnt und von dort diagonal nach rechts weitergeht, z.B. 1/4=1/5+1/30+1/105...

36
8. Dreieckszahl, die Summe der ersten vier geraden und der ersten vier ungeraden Zahlen vor, nach der 1 die erste Quadratzahl die auch Dreieckszahl ist. Damit ist 36 auch die Summe der ersten drei Kuben (1³+2³+3³). 36 ist die größte Zahl, die durch das Produkt ihrer Ziffern teilbar ist.

Alle Folgen von 7 aufeinanderfolgenden Zahlen >36 enthalten ein Vielfaches einer Primzahl >41.

37
Jedes dreistellige Vielfache von 37 bleibt ein Vielfaches von 37, wenn man dessen Ziffern zyklisch permutiert. Jede Zahl läßt sich als Summe von höchstens 37 fünften Potenzen darstellen.
37 ist die vierte ausgefüllte Sechseckzahl. Man erhält sie, wenn man sechseckige Kränze konzentrisch um einen Mittelpunkt herumlegt. Die Formel für die n-te ausgefüllte Hexagonalzahl lautet: 3n(n-1)+1
Unterteilt man das Sechseck anders (Skizze), erkennt man, daß diese Zahl gleich ist der Summe 6T_{n -1} +1, wobei T_n die n-te Dreieckszahl ist.

38
Magische Konstante des einzig möglichen magischen Sechsecks, in dem die Zahlen 1-19 auftreten.

39
Die erste anscheinend uninteressante ganze Zahl, was sie natürlich interessant macht.

40
Die zweite uninteressante Zahl, was sie nicht sehr viel interessanter macht. Alle folgenden uninteressanten Zahlen werden immer weniger interessant, so daß sie ab sofort weggelassen werden.

41
Fünfstellige Vielfache von 41 bleiben dies, wenn man die Ziffern zyklisch permutiert.
Euler entdeckte, daß x²+2+41 für alle Zahlen zwischen 0 und 39 Primzahlen liefert.

42
Die magische Konstante des kleinsten magischen Würfels, der die Zahlen zwischen 1 und 27 enthält.
Catalan-Zahlen:
42 ist die 5.Catalan-Zahl. Die Folge beginnt mit 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440.... Die Catalan-Folge gibt an, wieviele Möglichkeiten sich ein reguläres n-Eck in (n-2) Dreiecke zerlegen läßt, wenn unterschiedlich orientierte Dreiecke als verscheiden betrachtet werden sollen. Oder: Auf wieviele Weisen lassen sich n Buchstaben klammern, so daß in jedem Paar von Klammern nur zwei Buchstaben stehen?
ab auf eine Weise: (ab)
abc auf zwei Weisen: (ab)c, a(bc)
abcd auf fünf Weisen: (ab)(cd), a((bd)d), ((ab)c)d, a(b(cd)), (a(bc))d usw.
Auf wieviele Weisen kann man n Stimmen auf zwei Kandidaten verteilen, so daß der gewählte Kandidat niemals hinter seinem Konkurrenten liegt? Alle diese Fragen werden durch die Catalan-Folge beantwortet.

44
Gesucht ist ein Backstein, dessen Kantenlängen und Flächendiagonalen alle natürlichzahlige Maßzahlen besitzen. Eulers Lösung: 44, 117, und 240. Die Flächendiagonalen betragen 267, 125 und 244. Die Länge der Raumdiagonalen ist nicht ganzzahlig, dieses Problem steht noch aus.
Subfakultäten:
Es werden n Briefe an verschiedene Empfänger geschrieben und dazu n Umschläge beschriftet. Auf wie viele Weisen kann man die Briefe in die Umschläge stecken, so daß in keinem Umschlag der zu ihm gehörende Brief ist? Die Antwort: Subfakultät (n).
Die Folge der Subfakultäten: 0-1-2-9-44-265-1854-14833...
Subfakultät (5)=5!(1-1/1! + 1/2! + 1/3! - 1/4! + 1/5!) = 44

45
Nach 1 und 9 die dritte Kaprekar-Zahl. Alle Zahlen >45 lassen sich als Summe von Primzahlen darstellen, die größer als 11 sind.
Polygonalzahlen:
45 ist die fünfte Sechseckzahl. Diese lassen sich gemäß der Formel n(2n-1) berrechnen. Für n=5 ergibt diese 45. Die Folge beginnt mit: 1-6-15-28-45...
Polygonalzahlen ergeben sich auf natürliche Weise aus den Dreiecks- und den Quadratzahlen und lassen sich ebenso wie diese durch Punktmuster darstellen.
1/2n(n+1)1/2n(n+1)

Bezeichnung	Formel	n=	1	2	3	4	5	6	7...
Dreieckszahl	1/2n(n+1)		1	3	6	10	15	21	28...
Quadratzahl	1/2n(2n-0)		1	4	9	16	25	36	49...
Fünfeckszahl	1/2n(3n-1)		1	5	12	22	35	51	70...
Sechseckszahl	1/2n(4n-2)		1	6	15	28	45	66	91...
Siebeneckszahl	1/2n(5n-1)		1	7	18	34	55	81	112...
Achteckszahl	1/2n(6n-1)		1	8	21	40	65	96	133...
usw...

Die Sechseckzahlen findet man in der Reihe der Dreieckszahlen, wenn man immer eine Zahl überspringt. Alle vollkommenen Zahlen sind Sechseck- und Dreieckzahlen. Die vertikale Differenz in der Tabelle ist konstant und nimmt bei steigendem n mit der Dreieckszahl-Folge zu. Die horizontale Differenz ist bei der ersten Zeile die Reihe der natürlichen Zahlen, in der zweiten die der ungeraden Zahlen, in der dritten 4,7,10,13..., in der vierten 5,9,13,17... Wählt man in der Tabelle in Quadrat, multipliziert die gegenüberliebenden Seiten und subtrahiert dann die Produkte, erhält man die Dreieckszahl, die oben in der ersten zum Quadrat gehörenden Spalte steht.
Ist H_n die n-te Sechseckzahl und T_n die n-te Dreieckszahl, gilt: H_n=4T_{n -1}+n.

46
In der englischen Übersetzung des 46. Psalms lautet das 46. Wort shake, das 46. Wort vom Ende her gezählt heißt spear. Zusammen Shakespear. Warum? Weil im Jahre 1610, als diese Bibelübersetzung fertiggestellt wurde, Shakespeare gerade 46 Jahre alt war!

47     47+2=49; 47*2=94

48
Das Produkt aller echten Teiler von 48 ist 48⁴. Ist eine Zahl >48, gibt es zwischen n und 9n/8 eine Primzahl. Dabei sollen die beiden Grenzen n und 9n/8 mit eingeschlossen sein.

49
Trimorphe Zahl. Sein Kubus endet mit denselben Ziffern: 49³=117649. 49 ist ein Bsp. für eine trimorphe Zahl, die nicht automorph ist.
Die ersten Stellen des Kehrwertes von 49 bilden die Potenzen von zwei: 1/49=0,020408163265...

50
Die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Weise als Summe zweier Quadrate darstellen läßt: 5²+5²; 7²+1². Danach folgen: 65-85-145...

52
Anzahl Wochen im Jahr, Karten in einem Standartkartenspiel.
52 ist die dritte unerreichbare Zahl. Unerreichbar ist eine Zahl, wenn sie sich nicht als Summe von echten Teilern einer anderen Zahl darstellen läßt. Die Folge beginnt: 2-5-52-88-96-120...

53
Die kleinste Primzahl, deren Periode des Kehrwertes eine Periodenlänge hat, die genau ein Viertel der maximal möglichen Periodenlänge beträgt.

55
10.Dreieckszahl, Auch Fibonacci-Zahl, die letzte, die auch gleichzeitig Dreieckszahl ist (nach 1, 3 und 21). 55, 66 und 666 sind die einzigen Dreieckszahlen mit <30 Stellen, die nur eine einzige Ziffer enthalten.
Pyramidenzahlen:
55 ist die 5.quadratische Pyramidenzahl. Werden Kanonenkugeln zusammengelegt, daß sie quadratische Lagen bilden, lauten die Gesamtzahlen der Kugeln 1-5-14-30-55-91-140...Die n-te Kugel ergibt sich mit 1/n(n+1)(2n+1).
Andere Pyramidenzahlen: Fünfeckige Pyramidenzahlen (1/n²(n+1). Die einzigen Fünfeckpyramidenzahlen, die auch zugleich Dreieckszahlen sind, sind bis jetzt 1, 55, 91 und 208335.
55 ist die 4.Kaprekar-Zahl.
Addiert man die Kuben der Ziffern von 55 und wiederholt man dies noch 2x, entsteht die 55 erneut.
Jede Zahl >55 läßt sich als Summe von Primzahlen der Form 4n+3 beschreiben.

56
Tetraederzahlen:
56 ist die 6.Tetraederzahl. Der Beginn der Folge: 1-4-10-20-35-56-84-120... Die Formel dazu lautet: 1/6n(n+1)(n+2). Das traditionelle Beispiel ist der Kanonenkugelhaufen. Tetraederzahlen sind also die Summen von Dreieckszahlen. Führt man diese Betrachtungen in höheren Dimensionen fort, z.B. im vierdimensionalen Raum, lassen sich die zu den Tetraederzahlen gehörigen Haufen ihrerseits wieder zu einem vierdimensionalen Tetraeder zusammenfügen, wobei die nachfolgenden vierdimensionalen Tetraederzahlen entstehen: 1-5-15-35-70...

60
Basis des Sexadezimalsystems, es beruht auf Vielfache von Zehn und sechs: 1, 10, 60, 600, 3600, 36.000...Die Systeme profitieren von den vielen Faktoren der 60. Sie weist dieselben Vorteile des Duodezimalsystems auf und besitzt noch weitere. Die Unterteilung in 12 Sternzeichen fügt sich gut in das System ein, nicht aber in das Dezimalsystem. Auch die Einteilung des Vollkreises in 360 ° und die weitere Einteilung in 60 Minuten und 3600 Sekunden wurde von babylonischen Astronomen erfunden. Wir unterteilen heute noch die Stunde in 60 Minuten und 3600 Sekunden., ebenso die Grad, als einzige Maßeinheit, die noch nicht metrisiert wurde.
Die Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks sind 60°.
60 ist die achte "stark zusammengesetzte Zahl", was von Ramanujan stammt, der damit Zahlen verstand, die erstmals einen Maximalwert für die Anzahl ihrer Teiler ergeben. 60=2²*3*5 ist die erste Zahl, die 12 Teiler besitzt. Die Folge beginnt so: 2-4-6-12-24-36-48-60-120-180-240-360-720-1260-1680-2520-5040...

64
Die 2. Sechste Potenz nach Eins. 64 ist zugleich eine Quadrat- und Kubikzahl (8², 4³). Im Oktalsystem ist 64 darum 100, im Dualsystem 1 000 000.
Die kleinste Zahl mit sechs Primfaktoren. Die näcshten sind 96, 128 (mit 7 Primfaktoren) und 144. Weil es eine Kubikzahl ist, läßt 64 sich als Summe von aufeinanderfolgenden ausgefüllten Sechseckzahlen darstellen (1+7+19+37)

65     Magische Konstante des magischen 5x5-Quadrates.

66
Summiert man die Teiler von 66 einschließlich der 66, erhält man eine Quadratzahl (12²). Die Folge der Zahlen dieser Eigenschaft beginnt: 3-22-66-70-81...

69
Die einzige Zahl, deren Quadrat und deren Kubus, zusammen betrachtet, jede Ziffer nur einmal verwendet: 69²=4761 und 69³=328509.

70
Die Summe der Teiler von 70 (außer 70) ist eine Quadratzahl (=144).
Sie ist die kleinste Schicksalszahl. Das ist eine Zahl, wenn sie abundant ist und sich nicht als Summe von Zahlen aus einer Teilmenge ihrer Teiler darstellen läßt. Die Teiler lauten: 1-2-5-7-10-14-35. Zusammen ergeben sie 74, weshalb 70 abundant ist. Es gibt aber keine Teilmenge dieser Teilermenge, die such zu 70 aufaddieren würde. Diese Zahlen sind selten. Unter 10.000 gibt es nur folgende: 70-836-4030-5830-7912-9272.

71
71³=357911, das sind genau die ungeraden Ziffern von 3 bis 11 in richtiger Reihenfolge.
5, 71 und 369911 sind die einzigen Zahlen unter 2 Mio., die die Summe der Primzahlen, die kleiner sind als sie, teilen.

72
Die kleinste Zahl, deren fünfte Potenz sich als Summe von fünf fünften Potenzen schreiben läßt: 72⁵= 10⁵+43⁵+46⁵+47⁵+67⁵.

73
Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von max. 73 sechsten Potenzen darstellen.

76
Automorphe Zahl, was heißt, daß das Quadrat mit derselben Zahl aufhört, mit der man begonnen hat: 76²=5776. Die einzige andere zweistellige automorphe Zahl ist 25.

77
Jede Zahl >77 läßt sich als Summe von natürlichen Zahlen darstellen, deren Kehrwerte sich zu eins aufaddieren. 78 ist z.B. 2+6+8+10+12+40; und 1/2+1/6+1/8+1/10+1/12+1/40=1

79
Die kleinste Zahl, die sich nicht mit weniger als neunzehn vierten Potenzen als Summe darstellen läßt: 15*1⁴+4*2⁴.

81
Die Summe der Teiler ist 121, also eine Quadratzahl.
1/81 ist 0,0123456790123456790123..., weil 81=9² ist und neun genau eins kleiner als 10, was die Basis unseres Dezimalsystems ist.
81 ist neben 0 und 1 die einzige Zahl, deren Ziffernsumme auch ihre Quadratwurzel ist.
81 ist Quadrat- wie auch Siebeneckzahl.

84
Folgende Geschichte teilte Diophants mit:
"Das Grab berichtet uns die Zeitspanne, die Diophants Leben währte. Gott gönnte ihm, ein Sechstel seines Lebens als Knabe zu verbringen. In einem weiteren Zwölftel blieb sein Wesen kühn. Gott führte ihn in den Ehestand nach einem Siebtel. Fünf Jahre nach der Hochzeit schenkte er ihm einen Sohn. Unglückliches spätgeborenes Kind! Nachdem es halb so alt geworden war wie sein Vater, traf es ein hartes Schicksal. Nachdem er seinen Schmerz vier Jahre lang durch das Studium der Zahlen besänftigt hatte, beendete Diophant sein Leben."
Die Lösung ergibt 84.

88
Auch das Quadrat besteht aus wiederholten Ziffern: 7744.

89
Man verdoppele 89 und addiere Eins. Dann wiederhole man dieses Verfahren. Man erhält eine Folge von sechs Primzahlen: 89-179-359-719-1439-2879. Das ist unter allen sechsgliedrigen Primzahlfolgen dieser Art diejenige, die mit der kleinsten Zahl beginnt.
Man addiere die Quadrate der Ziffern einer beliebigen Zahl. Dann wiederholt man dies. Man landet schließlich entweder bei eins oder im folgenden Zyklus: 89-145-42-20-4-16-37-58-89.
89 und 98 sind die zweiziffrigen Zahlen mit den meisten Schritten, bis aus ihnen Palindrome durch Umkehren-und-Addieren geworden sind, nämlich 24.
89 ist die 11.Fibonacci-Zahl. Die Periode des Kehrwertes wird von den Fibonacci-Zahlen erzeugt: 0,11235...

91
Tage im Vierteljahr (bei 13 Wochen zu 7 Tagen). 91 ist Dreieckszahl wie uach eine quadratische Pyramidenzahl und eine ausgefüllte Sechseckzahl.

97
Die Periode des Kehrwertes ist maximal mit der Länge 96. Die Periode beginnt mit den Potenzen von 3 (wegen 97=100-3): 0,010 309 278 350 515 463 917...

98
Die Periode des Kehrwertes beginnt mit den Potenzen von 2 (wegen 96=100-2):
0,010 204 081 632 653 061 224 489...

99
1/99= 0,0101010101010...
Neun und elf haben sehr einfache Kehrwerte, weil 9x11=99 ist. Ähnliches gilt auch für 27x37=999. 99 ist eine Kaprekarzahl, wie jede Ziffernkette aus Neunern. 99²=9801 und 98+01=99.

100
Quadrat von Zehn, der Basis unseres Dezimalsystems, doch auch das Quadrat jeder anderen Zahl, daß man als Basis wählt!
Siedepunkt des Wassers in Celsius.
Vierte Dreieckszahl, Summe der ersten vier Kuben (1³+2³+3³+4³).
Wie kann man aus den Ziffern 1-9 nur unter Verwendung der üblichen Operationszeichen einschließlich Klammern einen Ausdruck bilden, dessen Wert gleich 100 ist? Es gibt viele Lösungen, die häufigste ist: 1+2+3+4+5+6+7+(8*9)=100. Eine andere Lösung ist: 123-45-67+89=100, sie benützt nur drei Operationszeichen.

101
Wenn man von 2, 3, 5 und 7 sowie der 11 absieht, ist 101 die kleinste palindromische Primzahl. Die anderen kleiner als 1000 sind: 131-151-181-313-373-383-727-757-787-797-919-929.
Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele davon gibt.

104
Semivollkommen, d.h. gleich der Summe eines Teiles seiner Teiler: 104=52+26+13+8+4+1.
Irreduzibel semivollkommen, weil kein Faktor von 104 selbst semivollkommen ist.

105
Zieht man von 105 eine Potenz zwischen 2 und 64 ab, erhält man stets eine Primzahl. Die einzigen anderen Zahlen dieser Eigenschaft sind 7, 15, 21, 45 und 75.
Bis zur 2⁴⁴ wurdebestätigt, daß es sonst keine solche Zahl mehr gibt.

111
Magische Konstante des kleinsten magischen Quadrates, das nur aus Primzahlen besteht (inkl. 1). Auch die zweite Repunitzahl.

113
Die kleinste dreistellige Primzahl, die bei allen Umordnungen ihrer Ziffern wieder eine Primzahl ergibt. Die anderen sind 337 und 199. Die zweistelligen Primzahlen dieser Eigenschaft sind 11, 13, 17, 37 und 79.

118
Die kleinste Zahl, die sich als Summe von vier Tripeln schreiben läßt, deren Produkte alle gleich sind: 118=14+50+54=15+40+63=18+30+70=21+25+72. Das Produkt ist jeweils 37800.

120
120=1*2*3*4*5. Fünfzehnte Dreieckszahl und achte Tetraederzahl, als Summe von Dreieckszahlen: 120 = 1+3+6+10+...+28+36.
Die erste Zahl, die sechsmal im Pascalschen Dreieck steht.
120 ist die kleinste Zahl, die 16=2⁴ Teiler besitzt. Die kleinste Zahl mit 2ⁿ Teilern erhält man, wenn man die ersten n Zahlen der nachfolgenden Reihe miteinander multipliziert: 2-3-4-5-7-9-11-13-16-17-19-23-25-29... (Alle Primzahlen und deren Potenzen).
Mehrfach vollkommene Zahlen:

Die Faktoren von 120 summieren sich zu 240. Zählt man 120 als Teiler dazu, wird die Summe gar 360, man nennt sie deshalb dreifach vollkommen. Es sind nur sechs dreifach-vollkommene Zahlen bekannt: 120-672-523776-459818240-1476304896 und 31001180160. Falls es eine ungerade dreifach-vollkommene Zahl geben sollte, muß sie größer als 10⁵⁰ sein, eine Quadratzahl sein und mind. 9 verschiedene Primfaktoren besitzen. Ist sie auch noch nicht durch drei teilbar, muß sie größer als 10¹⁰⁸ sein und mind. 32 verschiedene Primfaktoren besitzen.
Es sind heute bis zu achtfach-vollkommene Zahlen bekannt. Die kleinste achtfach-vollkommene Zahl ist: 2 * 3²³ * 5⁹ * 7¹² * 11³ * 13³ * 17² * 19² * 23 * 29² * 31² * 37 * 41 * 53 * 61 * 67² * 71² * 73 * 83 * 89 * 103 * 127 * 131 * 149 * 211 * 307 * 331 * 463 * 521 * 683 * 709 * 1.279 * 2.141 * 2.557 * 5.113 * 6.481 * 10.429 * 20.857 * 110.563 * 599.479 * 16.148.168.401.

121
Die palindromische Quadratzahl eines Palindroms. 121 ist in allen Zahldarstellungssystemen, beginnend mit der Basis drei, eine Quadratzahl.
11³=1331, und 11⁴=14641 sind ebenfalls palindromisch. Jede natürliche Zahl >121 läßt sich als Summe von verschiedenen Primzahlen der Form 4n+1 darstellen.

127
Mersenne-Zahlen:
127=2⁷-1 ist die 7.Mersenne-Zahl. Sie wird M₇ genannt. Sie ist die 4.Mersennesche Primzahl und liefert damit die vierte vollkommene Zahl.
Mersenne behauptete: Die einzigen Werte von p, die nicht größer als 257 sind und für die 2^p -1 eine Primzahl ist, sind 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, und 257. Es gibt zu jeder Mersenne-Zahl eine neue Primzahl, sie sind "coprim", so daß folgt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.)
Alle Teiler einer Mersenne-Zahl M_p müssen von der Form 2np +1 sein. Allerdings hat die obige Liste Fehler. Mersenne übersah drei Primzahlen: M₆₁, M₈₉ und M₁₀₇, außerdem sind M₆₇ und M₂₅₇ zusammengesetzt. Alle Mersennesche Primzahlen liefern vollkommene Zahlen (siehe 28).

128
2⁷. Im Dualsystem 10 000 000. Die kleinste Zahl, die Prokukt von 7 Primfaktoren ist. Zweierpotenz, deren Ziffern ebenfalls Zweierpotenzen sind. Es ist nicht bekannt, ob 128 die einzige solche Zahl ist.

132
Gleich der Summe aller zweistelligen Zahlen, die man aus den Ziffern von 132 bilden kann, die kleinste Zahl dieser Eigenschaft.

135
135=1+3²+5³.
(Andere Beispiele: 175=1*7²+5³ oder 518=5+1²+8³ oder 598=5+9²+8³).

136
Summe der Kuben der Ziffern ist gleich: 1³+3³+6³=244. Wiederholt man dies: 2³+4³+4³= kommt man wieder auf 136.

137
Alle hinreichend großen Zahlen sind Summen von höchstens 137 siebten Potenzen.

144
12² oder ein Gros. 100 im Duodezimalsystem. Neben der Eins die einzige Fibonacci-Zahl, die zugleich Quadratzahl ist. Die 12.Fibonacci-Zahl. Ein Teiler einer Fibonacci-Zahl heißt eigentlich, wenn er nicht Teiler einer kleinere Fibonacci-Zahl ist. Die einzigen Fibonacci-Zahlen, die keine eigentlichen Teiler besitzen, sind 1, 8 und 144. Liest man 12 und 144 rückwärts, erhält man 21²=441.
Das kleinste magische Quadrat, das aufeinanderfolgenden Primzahlen besteht, enthält 144 ungerade Primzahlen, die mit 3 beginnen. Die zugehörige Konstante ist 4515.

145
145=1!+4!+5!. Die einzigen anderen Zahlen, die sich als Summe der Fakultäten ihrer Ziffern darstellen lassen, sind 1, 2 und 40585.

153
153=1!+2!+3!+4!+5!.
Addiert man die Kuben der Ziffern einer dreistelligenZahl, die ein Vielfaches von drei ist, und wiederholt dies immer wieder, so gelangt man zur Zahl 153. Dort kommt der Prozeß zum Stillstand denn 153=1³+5³+3³. Die anderen dreistelligen Zahlen, die gleich der Summe der Kuben ihrer Ziffern sind: 370, 371, 407. Bei obigem Prozeß gibt es 2er- und 3er-Schleifen: 136-244, 919-1459, 55-250-133, 160-217-352.
Das Netz, das Petrus aus dem See zog, enthielt 153 Fische.

161
Jede Zahl > 161 läßt sich als Summe von unterschiedlichen Primzahlen der Form 6n-1 darstellen.

163
Aitken entdeckte folgende Eigenschaft von 163: e ^π√163 differiert von einer natürlichen Zahl um weniger als 10^-12. (sensationell!)

169
169=13², 961=31²

180
180 Grade im Halbkreis, Fahrenheit-Grade zwischen Gefrierpunkt und Siepunkt des Wassers. Winkelsumme des Dreiecks. 180³ ist die Summe einer Folge von aufeinanderfolgenden Kuben: 6³+7³+8³+...68³+69³.

196
Palindromisch nach Umstellung:
Bildet man die Kehrzahl von 87 (=78), addiert dann Kehr- und Ausgangszahl und wiederholt dies mehrfach, erhält man nach bereits vier Schritten eine Palindromzahl: 4884: 87+78=165; 165+561=726; 726+627=1353; 1353+3531=4884.
Um eine Palindromzahl zu erhalten, genügt es, daß im vorhergehenden Schritt keine Überträgen erfolgen. Das bedeutet aber, daß sich die Ziffernpaare (vorwärts oder rückwärts gelesen) zu höchstens neun summieren dürfen. Werden schließlich alle Zahlen palindromisch? Das ist nicht bekannt. Bisher konnte unter 10.000 nur die 196 noch nicht auf diese Weise palindromisiert werden. 50.000 Umstellungen wurden bisher durchgeführt, die Zahl hatte bereits 26.000 Stellen. Danach wurde erfolglos bis zur 70928.Stelle gerechnet.
Von den 900 dreistelligen Zahlen sind 90 von Hause aus vereits palindromisch. 735 werden es nach 1-5 Umstellungen. Die restlichen 75 lassen sich in einige wenige Klassen einordnen, deren Elemente nach ein oder zwei Umstellungen alle dieselbe zahl ergeben und sich deshalb nicht wesentlich unterscheiden. Eine dieser Klassen: 187-286-385-583-682-781-869-880-968, die alle nach 1-2 Umstellungen zu 1837 werden und schließlich nach 23 weiteren Umstellungen zu 8.813.200.023.188 werden.
Unter den ersten 100.000 Zahlen fand man 5996 Zahlen, die keine Palindrome ergaben. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig ausgewählte Zahl Ziffern hat, die, wenn man sie mit der entpsrechenden Ziffer der Kehrzahl paart, sich höchstens zu Neun summieren, nimmt klarerweise mit der Länge der Zahl ab. Also ist es plausibel anzunehmen, daß, je größer die Zahlen werden, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit wird, daß schließlich ein Palindrom entsteht.
Im Dualsystem ist es gewiß nicht wahr, daß jede Zahl schließlich zu einem Palindrom führt. 10110 wird z.B. niemals palindromisch.

205
Jede natürliche Zahl > 205 läßt sich als Summe unterschiedlicher Primzahlen der Form 6n+1 darstellen.

210
Primordial (7)=2*3*5*7.
Dreieckszahl und Fünfeckszahl. Die nächste Zahl dieser Eigenschaft ist 40755.

212    Siedetemperatur in Fahrenheit.

216
216=6³ ist ein Kubus, der zugleich Summe dreier Kuben ist: =3³+4³+5³. Der nächste Kubus mit dieser Eigenschaft ist 9³=1³+6³+8³.
216 ist die magische Konstante des kleinstmöglichen multiplikativen Quadrates.

219
219 Bewegungsgruppen im Raum, die den siebzehn grundlegenden Tapetenmustern im Zweidimensionalen entsprechen. Die 219 Bewegungsgruppen legen die Formen fest, die mineralische Kristalle annehmen können.

220
Befreundete Zahlen:
220-284 sind das kleinste Paar befreundeter Zahlen. Jede dieser Zahlen ist gleich der Summe der eigentichen Teiler der anderen Zahl: 220=2²*5*11. Die eigentlichen Teiler von 220 sind 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110, was zusammen 284 ergibt.
284=2²*7!. Die eigentlichen Teiler sind 1, 2, 4, 71 und 142, was zusammen 220 ergibt.
Man suche eine Zahl n größer als Eins, die eingesetzt in die nächsten drei Ausdrücke Primzahlen ergibt: a=3*2ⁿ-1 b=3*2^{n -1}-1 c=9*2(^{2^n) -1}
Dann bilden die Zahlen 2n*a*b und 2n*c ein Paar befreundeter Zahlen. Die kleinere ist stets eine Tetraederzahl.
Die kleinste vollkommene Zahl ist 6 (1*2*3), die kleinste mehrfach-vollkommene ist 120 (4*5*6), die Summe von 220 und 284=504=7*8*9.
Die obige Regel (Thabits-Regel) ist nur eine von mehreren Methoden, befreundete Zahlen herauszufinden, und beschreibt nicht alle befreundete Zahlen.
Das zweite Paar ist 17296-18416. In Thabits Formel steht das für n=4.
Das dritte Paar für n=7 lautet: 9363584-9437056.
Euler fand mehr als 60 Sätze über befreundete Zahlen. Heute sind mehr als 1000 Paare bekannt. Die größten Paare lauten:
3⁴*5*11*5281¹⁹*29*89(2*1291*5281¹⁹-1)
und
3⁴*5*11*5281¹⁹*(2³*3³*5²*1291*5281¹⁹-1).
Schreibt man die Zahlen aus, hat jede 152 Stellen. Die größere Zahl muß eine definierte Zahl sein. Beide Partner dürfen bei gerade-gerade Paaren nicht durch drei teilbar sein. Bisher waren alle Paare gerade-gerade oder ungerade-ungerade. Es gibt aber keinen Beweis, daß es keine gerade-ungerade Paare gibt. Die Summe jeden gerade-befreundeten Paares ist durch neun teilbar.

240
Keine Zahl unter 1Mio. kann mehr als 240 Teiler besitzen. Es gibt 5 Zahlen, die diesen Rekord schaffen:
720720-831600-942480-982800-997920.

243
243=3⁵. Deshalb im Ternärsystem 100.000.

251
Die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Weise als Summe dreier verschiedener Kuben schreiben läßt:
251=1³+++5³+5³=2³+3³+6³.

256
Im Hexadezimalsystem 100, im Dualsystem 1 000 000.

257
4⁴+1=Primzahl. Die einzigen bekannten Primzahlen der Form nⁿ+1 sind n=1, 2 und 4.
Fermatsche Zahlen:
257 ist die 3.Fermatsche Zahl, da gilt: 257=2^{2 ^ 3} +1.
Es sind Zahlen der Form 2^{2 ^ n} +1. Fermat behauptete, daß diese Zahlen prim seien. Das stimmt nicht. Die ersten vier Zahlen allerdings sind prim: F₀=2¹+1=3; F₁=2²+1=5; F₂=2⁴+1=17; F₃=2⁸+1=257. Auch F₄ ist prim: 2¹⁶+1=65537. Die Zahlen wachsen extrem schnell, schneller als alle Folgen, die Mathematiker jemals zuvor betrachteten.
Es war die einzige Gelegenheit, bei der Fermat nachweislich unrecht hatte. Euler zeigt, daß F₅ zusammengesetzt ist: 2³²+1=4 294 967 297 = 641*6 700 417.
Alle Teiler von Fermatschen Zahlen F_n haben die Form k*2^{n + 1}+1.
F₆ ist ein Produkt zweier Primzahlen: 274 177 und 67 280 421 310 721.
Außerdem ist F₁₂ durch 114 689 = 7*2¹⁴+1 teilbar.
F_n ist nur dann prim, wenn F_n die Zahl 3 ^{1/ 2 * (Fn - 1)} +1 teilt.
Man kennt sogar einen Faktor des Giganten F₁₉₄₅. F₅-F₁₉ sind alle zusammengesetzt, wie man heute weiß. Vollständig in Faktoren zerlegt wurden aber nur F₅-F₈. Die meisten Fermatischen Zahlen scheinen zusammengesetzt zu sein. Alle Fermatschen Zahlen sind relativ prim zueinander, ein weiterer Beweis, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
Gauß bewies: ein reguläres Polygon, dessen Seitenzahl prim ist, läßt sich nur dann mit Zirkel und Lineal konstruieren, wenn die Seitenzahl eine Fermatische Primzahl ist. Man kann also das reguläre 257-Eck so konstruieren.

265
Subfakultät (6).

276
Aliquot-Folgen:
Eine Aliquot-Folge besteht darin, daß die Teiler eines Gliedes (unter Ausschluß des Gliedes selbst) gerade das nächste Glied ergeben. Diese Kette kann zu ihrem Anfang zurückkehren.
Aliquot-Folgen nehmen im Durchschnitt unbegrenzt zu, möglicherweise alle, die mit einer geraden Zahl beginnen. Andere führen auf eine gesellige Kette, die sich in alle Ewigkeit wiederholt. Alle bekannten geselligen Folgen sind tatsächlich Endstücke von Aliquot-Folgen. Viele enden mit dem Paar befreundeter Zahlen 1184 und 1210.
Es gibt Ketten mit mehr als 5000 Glieder.
276 ist die kleinste Zahl, von der man nicht weiß, wohin sie führt. Nach 469 Schritten erreicht man bis jetzt eine 45stellige Zahl.

284
Mit 220 das erste Paar befreundeter Zahlen.

297
Kaprekar-Zahlen:
297 ist die 5.Kaprekar-Zahl. Quadriert man eine n-stellige Kaprekar-Zahl und addiert man die letztten n Stellen zu den ersten n oder n-1 Stellen, ergibt sich die Ausgangszahl:
297²=88209 ; und 209+88=297.
Die Folge lautet anfangs: 1-9-45-55-297-703-2223-2728-7272-7777...
Es gilt: 1+9=10; 45+55=100 usw.
142857 ist eine Kaprekar-Zahl, 1 111 111 111 ist die kleinste zehnstellige Kaprekar-Zahl, ihr Quadrat ist 12 345 678 900 987 654 321.
Quadriert man eine Kaprekar-Zahl, nachdem man sie zyklisch permutiert hat und addiert die "Hälften" der entstehenden Zahl, so ist das Resultat eine zyklische Permutation der Ausganszahl. z.B. 972 (von 297): 972²=944 784; 784+944 = 1728.
Die Addition der Hälften kann man dadurch vervollständigen, daß man die 1 zu 728 addiert. Das Ergebnis ist wieder 729, eine zyklische Permutation von 297.
Auch 7272 ist eine Kaprekar-Zahl, deren einzige zyklische Permutation 2727 lautet.
2727²=7 436 529; 783+6529=7272.
297 ist auch eine Kaprekar-Triade, weil 297³=026 198 073 ist und 026+198+073=297 ist.
Kaprekar-Zahlen hängen mit den Repunit-Zahlen zusammen. Wenn die n-stellige Zahl X eine Kaprekar-Zahl ist, stellt die Zahl X²-X ein Vielfaches der n-stelligen Repunitzahl 10ⁿ-1 dar.

325
Das kleinste Quadrat, die sich auf dreierlei Weisen als Summe zweier Quadrate schreiben läßt: 1²+18²=6²+17² und 10²+15².

353
353⁴ ist die kleinste vierte Potenz, die sich als Summe von vier anderen vierten Potenzen darstellen läßt: 30⁴+120⁴+272⁴+315⁴.

360
Grade im Vollkreis.

365,2422
Der Kalender:
Ungefähr die Zahl der Tage im Jahr. Entspricht 365 Tagen, 5 Stunden, 48 Minuten und 46,08 Sekunden. Das ist die Umlaufzeit der Sonne um die Erde. Die Zeit zwischen den Mondphasen dauert 29 Tage, 12 Stunden, 44 Minuten und 2,8 Sekunden (29,530588 Tage).
Es ist Zufall, daß die Tageszahl des Jahres so nahe bei 360 liegt, welche wiederrum so nach beim zwölffachen der Mondperiode liegt.
Um diese Zahlen zu erreichen, fügt man im Julianischen Kalender alle 4 Jahre ein Tag hinzu, den 29. Februar. Somit ist das Julianische Jahr 365,25 Tage lang. Alle 128 entsteht ein Fehltag.
Der Gregorianische Kalender besagt: Alle Jahre, deren Jahreszahl durch 100 teilbar ist, sind gewöhnliche Jahre, außer die Jahrezahl ist zusätzlich durch 400 teilbar. Dann bleibt es ein Schaltjahr. Alle 3333 Jahre entsteht ein Fehltag.
In Rußland ist ein noch genauerer Kalender üblich. Dort sind alle Jahre gewöhnlich bis auf die, deren Jahreszahl bei Division durch neun den Rest zwei oder sechs ergeben. Erst alle 45.000 Jahre entsteht ein Fehltag.
Wir können anhand des Datums sagen, wie die Position der Sonne ist, nicht aber die des Mondes. Moslemische Kalender gehen vom Mond aus. Er hat 12 Monate, die abwechselnd 29 und 30 Tage haben. In Schaltjahren hat der letzte Monat einen zusätzlichen Tag. Das gewöhnliche Jahr hat bloß 355 Tage, weshalb das Neujahrsfest immer im Gregorianischen Kalender wandert und umgekehrt.
Das jüdische Jahr ist eine Kombination beider Kalender. Das gewöhnliche Jahr ist ein Mondjahr von 355 Tagen. Summiert sich der so begangene Fehler zu einem vollen Monat, wird ein dreizehnter Monat eingeschaltet. Dadurch wird er zum kompliziertesten Kalender.
Die Schwierigkeiten werden sichtbar, wenn man sieht, wie das Osterdatum, das von der Position des Mondes abhängt, im Jahr umherwandert. Das jüdische Passahfest ist noch schwieriger zu berechnen.

370
Die Summe der Kuben seiner Ziffern (wie 153 und 371).

400
400²=20²=7°+7¹+7²+7³. Die Summe der Teiler von 7³ ist eine Quadratzahl. Auch die Summe der Teiler von 400 ergibt eine Quadratzahl: 961=31².
400 ist gleich dem Produkt der echten Teiler von 20.

407
407=4³+0³+7³.

484
484=22². Eine palindromische Quadratzahl, die Quadrat eines Palindroms ist.

495
Man nehme eine dreistellige Zahl, deren Ziffern nicht übereinstimmen, ordne die Ziffern einmal in ansteigender und einmal in absteigender Folge. Dann subtrahiere man sie. Dies wiederholt man. Das ist der Kaprekar-Prozeß. Alle dreistelligen Zahlen enden schließlich mit 495. Dort bleibt er stehen, denn 954-459 = 495.

496
Die 3.vollkommene Zahl=16*31=2⁴(2⁵-1).
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496. Die Zahlen, die um eins größer als eine gerade oder um zwei kleiner sind als eine ungerade Dreieckszahl, deren Index eine Primzahl ist, sind sehr oft Primzahlen. Das erste Gegenbeispiel ist die 31. Dreieckszahl=496. 31 ist prim, 497 ist aber durch 7 teilbar.

504
Sowohl 12*42 als auch 21*24. Es gibt 13 solche zweiziffrigen Paare, das größte ist 36*84 und 63*48=3024.

512
2⁹. Im Dualsystem 1 000 000 000, im Oktalsystem 1000.

561
Die kleinste Carmichael-Zahl=3*11*17, auch "absolute Pseudoprimzahl" genannt, was bedeutet, daß diese Zahl bezüglich jeder Basis eine Pseudoprimzahl ist. Das heißt, daß a⁵⁶¹-1 durch 561 teilbar ist, gleichgültig, welchen Wert a besitzt.
Jede Carmichael-Zahl läßt sich als Produkt von mind. 3 ungeraden Primzahlen darstellen. n ist nur dann eine Carmichael-Zahl, wenn n sich als Produkt von mind. 3 ungeraden Primzahlen darstellen läßt und wenn für jeden dieser Faktoren die Zahl n-1 durch p_i -1 teilbar ist.
Sie sind selten, doch es wird ohne Beweis angenommen, daß es unendlich viele gibt.

563
(p-1)!+1 ist nur dann durch p teilbar, wenn p eine Primzahl ist (Wilson). Ganz selten liegt sogar eine Teilbarkeit durch p² vor. Die solchen einzigen Zahlen unter 200183 sind 5, 13 und 563.

567
567²=321489. Jede Ziffer 1-9 kommt genau einmal vor. Die zweite Zahl, die diese Eigenschaft hat, ist 854.

587
Damit beginnt eine Folge von 11 Primzahlen, die man alle durch Verdreifachung und anschließende Addition von 16 erhält:
587 - 1777 - 5347 - 16 057 - 48 187 - 144 577 - 433 747 - 1 301 257
- 3 903 787 - 11 711 377 - 35 134 147.

625
=5⁴. 625² endet immer mit 625, damit enden auch alle Potenzen von 625 mit 625.
5⁴= 2⁴+2⁴+3⁴+4⁴+4⁴; die kleinste vierte Potenz, die sich als Summe von vier anderen vierten Potenzen darstellen läßt.

666
Die 36. Dreieckszahl (1/2*36*37) und die Kennzahl des Satans in der Offenbarung: "Sie beträgt 600 plus drei mal zwanzig plus sechs." Okultisten haben vielerlei Tricks angewandt, die Kennzahl in den Namen ihrer politischen und theologischen Feinde zu finden.
Bungus, der ein Lexikon über numerologische Symbole schrieb, schaffte es, aus Luther 666 zu machen: Nach einem alten System werden A-I mit 1-9 gezählt, K-S mit 10-90 und T-Z mit 100-500. Der Name Luthers wurde in der halb lateinischen, halb deutschen Form Martin Luthera genommen. Mit solchen Tricks läßt sich fast alles erreichen.
In römischen Ziffern kommt jede Ziffer einmal vor: DCLXVI.

672
Die zweite dreifach-vollkommene Zahl nach 120: 2⁵*3*7. Die Summe ihrer Teiler ist 3*672=2016.

679
Die kleinste Zahl, deren multiplikative Beharrlichkeit gleich fünf ist.
Das Produkt der Ziffern ist 378. Wiederholt man dies, erhält man folgende insgesamt fünfgliedrige Kette: 168, 48, 32, 6.

714 und 715
Es gilt: 714*715 = 510510 = 2*3*5*7*11*13*17 = primorial (17), also das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich 17. Im Bereich bis 3049 lassen sich nur die Zahlen Primorial 1, 2, 3, 4 und 7 als Produkte von aufeinanderfolgenden Zahlen schreiben.
σ(714), die Summe der Teiler unter Einschluß der Zahl selbst, ist eine Kubikzahl und das Verhältnis σ(714)/φ(714) ergibt eine Quadratzahl.
Außerdem ist 714+715 = 1429; sechs Anordnungen seiner Ziffern ergeben Primzahlen.

720
Läßt sich auf zwei verschiedene Arten als Produkt unmittelbar aufeinanderfolgender Zahlen darstellen: 10*9*8=6*5*4*3*2.

729
1/729 hat eine Nachkommeperiode von der Länge 81. Deren Ziffern lassen sich in Gruppen zu neun zahlen zeilenweise anordnen. Das sieht so aus:

001	371	742
112	482	853
223	593	964
334	705	075
445	816	186
556	927	297
668	638	408
779	149	519
890	260	631

780
Mit 990 das zweitkleinste Paar von Dreieckszahlen, deren Summe und Differenz wieder Dreieckszahlen sind: 1770 und 210.

836
Fast alle Zahlen, deren Quadrate palindromisch sind, scheinen eine ungerade Stellenzahl zu besitzen. 836 ist die kleinste Zahl, dern Quadrat eine ungerade Stellenzahl hat und palindromisch ist.: 698896.

840
840=2³*3*5*7.
Unter 1000 die Zahl mit den meisten Teilern: 32.

854
854²=729316. Alle Ziffern treten einmal auf.

880
Es gibt 880 magische Quadrate der Ordnung vier, vorausgesetzt, man zählt Quadrate, die durch Spiegelung und Drehung ineinander übergehen, nur einmal.

945
Die erste ungerade abundante Zahl, sie ist semivollkommen. Die Summe der Teiler beläuft sich auf 975. 945=3³*5*7. Ungerade abundante Zahlen sind selten. Im Bereich bis 10.000 gibt es nur 23 Stück.

981
Es gibt bis jetzt nur 5 Zahlentripel mit der Eigenschaft, daß ihre Summe und Produkte alle übereinstimmen: 6-480-495; 11-160-810; 12-144-825; 20-81-880; 33-48-900.
Die Summe dieser Tripel ist immer 981, das Produkt 1425600.

999
Kleinste Summe von gesamtstelligen dreiziffrigen Primzahlen: 149+263+587. Gesamtstellig bedeutet, daß alle Ziffern zwischen 1-9 einmal auftreten.
999²=998001, 998+001=999. Wie alle Zahlen aus 9ern ist 999 eine Kaprekar-Zahl.
Jedes Vielfache von 999 läßt sich so in dreiziffrige Gruppen einteilen, daß sich als deren Summe 999 ergibt. Dasselbe gilt für Vielfache von 9, 99, 9999 usw.
999=27*37, weshalb 1/27 = 0,037037037...und 1/37 = 0,027027027... ist.

1000
10³ in jedem Zahldarstellsystem

1001
1001=7*11*13. Die Grundlage für einen Teilbarkeitstest, mit dem man die Teilbarkeit durch alle diese drei Zahlen auf einmal testen kann. Man teile die zu testende Zahl, bei den Einern beginnend, in dreiziffrige Gruppen ein. Große Zahlen werden meist schon so geschrieben.
Dann addiert man die Gruppen, die sich an ungeraden Stellen befinden, und zieht von dieser Summe die Gesamtsumme der Gruppen an geraden Stellen ab. Die Ausgangszahl ist dann durch Siebe, elf oder dreizehn teilbar, wenn dies das Resultat der oben geschilderten Rechnung ist.
z.B. 68 925 857: 68+857-925=0.

1024
2¹⁰. Die kleinste Zahl mit 10 Primfaktoren. Bei Speicherkapazitäten als Vorsilbe "Kilo.." bezeichnet, auch wenn es wörtlich 1000 bedeutet.

1089
1089*9=9801.
Dieselbe Eigenschaft besitzen 10989, 109989 usw.
1/1089 = 000918 273 645 546 637 281 9100091....
Liest man eine dreistellige Zahl von hinten, zieht das Resultat von der Ausgangszahl ab und addiert man dann hierzu die Kehrzahl der Ausgangszahl, lautet das Ergebnis immer 1089:
623-326 = 297; 297+972=1089
Man beachte die mittlere Ziffer neun und die Tatsache, daß 1089=999*90 ist.
Die einzige andere Zahl mit bis zu vier Stellen, deren Kehrzahl ein Vielfaches ihrer selbst ist, ist 2178 = 2*1089. Es sind beides Beispiele für nicht ernstzunehmende Mathematik nach G.H. Hardy.
1089=33²=65²-56². Das ist das einzige Beispiel dieser Art mit zweiziffrigen Zahlen.

1111
=56²-45²
nach dem Vorbild 11=6²-5². Dieses Muster setzt sich fort:
111 111=556²-445²...
Ähnlich gilt: 7²-4²=33; 67²-34²=3333 usw. Oder auch 8²-3²=55; 78²-23²=5555 usw.

1141
1141⁶= 74⁶+234⁶+402⁶+474⁶+702⁶+894⁶+1077⁶.
Die kleinste bekannte Zahl, die eine sechste Potenz ist und die sich als Summe von sieben sechsten Potenzen darstellen läßt.

1184
Bildet mit 1210 das zweitkleinste Paar befreundeter Zahlen.

1225
1225=35²=1/2*49*50.
Die zweite Zahl, die Dreiecks- und Quadratzahl ist. Die nächsten sind 204" und 1189".

1233
1233=12²+33².
Ein anderes Beispiel: 8833=88²+33².

1444
=38².
Die kleinste Quadratzahl, die auf 444 endet. Die nächste ist 462"=213444. 1444 ist die vierte Quadratzahl, deren Ziffern sich zu zwei anderen Quadratzahlen umordnen lassen: 144, 4.

1540
Eine der fünf Zahlen, die sowohl Dreiecks- und Tetraederzahlen sind.

1634
=1⁴+6⁴+3⁴+4⁴.

1728
=12³.
Im Duodezimalsystem 1000.

1729
Die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier Kuben ausdrücken läßt: 1729=12³+1³=10³+9³.
1729 ist eine Harshad-Zahl, also durch die Summe ihrer Ziffern teilbar. Sie ist auch die 3.Carmicahel-Zahl.

1854
Subfakultät (7) oder !7.

1980
1980-0891=1089. Es gibt fünf Arten, wie man aus der Subtraktion einer vierstelligen Zahl un dihrer Kehrzahl eine Umordnung der Ziffern der ursprünglichen Zahl erhalten kann:
5832-3285=2538; 3870-0783=3087; 2961-1692=1269; 9108-8019=1089.

2025
2025=45² und 20+25=45. Also eine Kaprekar-Zahl.
Vergrößert man jede Ziffer um eins, wird daraus 3136. Auch diese ist eine Quadratzahl: 56².
Ein Paar von zusammenpassenden zweiziffrigen Quadratzahlen ist 25 und 36.

2178
Das Vierfache ist 8712, was genau die Kehrzahl ist.
Diese Eigenschaft haben auch 21978, 219978 usw.
2178 ist eine gegenüber ziffernoperationen vierter Stufe invariante Zahl: 2⁴+1⁴+7⁴+8⁴=6514 und 6⁴+5⁴+1⁴+4⁴=2178.

2187
3⁷=10.000.000 im Ternärsystem.

2201
Kleinste nichtpalindromische Kubikwurzel aus einer palindromischen Zahl:
2201³ = 10 662 526 601.

2240
Anzahl Pfunde in der englischen Tonne oder amerikanischen langen Tonne: 1Tonne = 2240 Pfund = 160 Stounes = 80 Quarters = 20 Hundredweight.

2310
Primorial (11): 2*3*5*7*11. 2310 ist die kleinste Zahl mit fünf verschiedenen Primfaktoren.

2520
=2³*3²*5*7. Damit ist sie die Summe von vier seiner Teiler auf sechs verschiedenen Arten. Das ist die maximal erreichbare Anzahl.
2520 ist die kleinste Zahl dieser Eigenschaft.

2592
=2⁵*9². Dieses Muster ist einmalig.

2615
2615*11=28765 und 5162*11=56782, das ist die Kehrzahl. Die Auswahl der Zahl 2615 ist sehr willkürlich. Dieser Mechanismus funktioniert nämlich immer dann, wenn die benachbarten Ziffern einer Zahl sich nicht zu mehr als neun addierenf. Dabei muß man alle Paare benachbarter Zahlen berücksichtigen, z.B. 2 363 511 509, ein Gegenbeispiel ist: 45 173.

3003
Die kleinste Zahl, die achtmal im Pascalschen Dreieck auftritt.
Es gibt keine weitere Zahl < 2²³ dieser Eigenschaft.

3334
3334²=11115556 in Analogie zu 4²=16, 34²=1156, 324²=111556 usw.
Geht man zur dritten Potenz, findet man: 3334³=037 059 263 704, wobei die Summe der drei vierstelligen Zahlen 0370+5926+3704= 10.000 ist.

3367
Läßt sich mit dem zweistelligen Multiplikator xy malnehmen, indem man xyxyxy durch drei dividiert. Funktioniert, weil 3367=10101/3 ist.

3435
=3³+4⁴+3³+5⁵.

3600
Sekunden in der Stunde, Sekunden im Grad, Minuten im Vollkreis.

4096
2¹²=8⁴=16³. Im Dualsystem 1 000 000 000 000, im Oktalsystem 10 000, im Hexadezimalsystem 1000.

4900
Einzige Quadratische Pyramidenzahl, die zugleich Quadratzahl ist: 70²=1²+2²+3²+4²+...+24².

5040
7!=1*2*3*4*5*6*7.
Beim Glockenläuten enthält eine komplette folge von Stedman-Tripeln 7! Änderungen und braucht 3-4 Stunden.

5913
=1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!

6174
Kaprekar-Verfahren:
6174 ist, sieht man von Zahlen ab, deren Ziffern alle gleich sind, die Kaprekar-Konstante, d.h. 6174 ist die Zahl, die sich ergibt, wenn man das Kaprekar-Verfahren auf eine vierstellige Zahl anwendet.
Man nehme daz eine 4stellige Ziffer ungleich 6174, ordne die Zifer einmal absteigend und aufsteigen und bilde die Differenz. Das wiederhole man, bis man schließlich auf 6174 kommt.
Ab da wiederholt sich die Rechnung da 6174=7641-1467 ist.
Es ist eine Harshad-Zahl, denn sie ist durch die Summe ihrer Ziffern teilbar.

6666
6666²=44435556. Die beiden Hälften 4443+5556 ergeben 9999.
Dieses Muster ergibt sich aus allen Zahlen aus Sechsen. 3333²=11108889; 1110+8889=9999 und 7777²60481729, wobei 6048+1729=7777 ergibt, weswegen 7777 eine Kaprekar-Zahl ist.
Allgemein: Wird eine Zahl mit einer Zahl multipliziert, die aus n gleichen Ziffern besteht, ergibt sich als Summe der ersten n linken und der restlichen rechten Hälfte des Produktes wieder eine Zahl, deren Ziffern alle gleich sind (wenn das Produkt eine gerade Stellenanzahl hat).

6667
6667²=44448889 und 44448889*3=133346667. Die vier Endziffern dieser Zahl stimmen mit der Anfangszahl überein. 6667 ist also dreifach-automorph.
Zu jeder gegebenen Stellenzahl lassen sich dreifach-automorphe Zahlen finden, z.B. 9792 und 6875 bei vierstelligen Zahlen.
Zehnstellige dreifach-automorphe Zahlen sind z.B. 6 666 666 667, 262 369 792 und 9 404 296 875.
Jede beliebige Zahl, gleich wie viele Stellen hat, ergibt ein Muster, wenn man eine genügend große Anzahl von Dreien, Sechsen oder Neunen vor sie schreibt.

6729
Das Doppelte ist 13458. Jede Ziffer kommt einmal vor.

6999
Addiert man sie mit ihrer Kehrzahl und wiederholt man dies, braucht man 20 Schritte, um zu einer Palindromzahl zu gelangen. Das Ergebnis ist die längste Palindromzahl, die man für eine Ausganszahl kleiner als 10.000 erhält.

7744
7744=88².
Die einzige Quadratzahl, die ein derartiges Muster zeigt.

8000
=20³.
Summe von vier aufeinanderfolgenden Kuben: 11³+12³+13³+14³.

8128
2⁶(2⁷-1), die vierte vollkommene Zahl.

8191
=1+90+90²=1+2+2²+2³+...*2¹².
8191=2¹³-1 ist eine Mersennesche Primzahl. Der Index 13 ist ebenfalls prim. Man hat vermutet, daß solche Mersennesche Zahlen, deren Index prim ist, selbst prim sind. Dann hätte man eine Formel, die einem unendlich viele Primzahlen liefern würde. Die Zahlen wachsen aber darin ungeheuer. Die Vermutung ist aber falsch: 2⁸¹⁹¹-1 ist zusammengesetzt.

8208
=8⁴+2⁴+0⁴+8⁴.

8712
Vielfaches ihrer Kehrzahl 2178 (siehe 153, aufgenommen in Hardys Sammlung nicht ernstzunehmender mathematischer Sätze).

9642
Multipliziert mit 87531 erhält man das größte Produkt zweier Zahlen, das alle Ziffern eins und neun genau einmal verwendet = 843 973 902.

9801
9801=99² und 98+1=99, also eine Kaprekar-Zahl.

9999
9999²=99980001. Die beiden Kaprekar-Hälften 9998 und 0001 addieren sich zu 9999.
9999³=9997 0002 9999, die drei Drittel summieren sich zu 2*9999.

10989
10989*9=98901 (Kehrzahl)

11593
Das erste Glied einer Folge von 9 aufeinanderfolgenden Primzahlen der Form 4n+1.

12285
Mit 14595 das kleinste Paar befreundeter ungerader Zahlen.

12496
Gesellige Zahlen:
12496 ist die erste Zahl in einer Kette von 5 geselligen Zahlen. Die Summe der Teiler jeder Zahl (unter Ausschluß der Zahl selbst) ergibt die nachfolgende Zahl. Wobei die sich Teiler der letzten Zahl zur ersten Zahl summieren: 12496-41288-15472-14536-14264(-12496).
Mit der Zahl 14316 beginnt eine Kette mit 28 Gliedern. Diese beiden waren die einzigen Beispiele, bis Cohen 1969 mit einem Computer in den ersten 60 Mio. Zahlen 7 neue Ketten mit je 4 Gliedern fand. In letzter wurden noch mehr gefunden, aber noch keine dreigliedrige. Es ist nicht sicher, ob sie überhaupt existent sind.

12758
Die größte Zahl, die sich nicht als Summe unterschiedlicher Kuben darstellen läßt.

14316
Anfangsglied von 28 geselligen Zahlen. Beginnt man von oben links und liest von dort nach unten, summieren sich die echten Teiler jeder Zahl zu der ihr nachfolgenden Zahl, wobei die letzte Zahl wieder zurück zur Anfangszahl führt:

14316	629072	97946
19116	589786	48976
31704	294896	45946
47616	358336	22976
83328	418904	22744
177792	366556	19916
295488	274924	17716
		(14316)

Es ist sonst keine Kette dieser Länge bekannt, obwohl sie bereits 1918 entdeckt wurde.

17296
Mit 18416 das zweite befreundeter Zahlen, das entdeckt wurde.

19600
Eine der zwei Zahlen, die Quadrat- und Tetraederzahlen sind, die andere ist 4.
19699=144²=1+3+6+10+15...+1176.

20161
Alle Zahlen >20161 lassen sich als Summe von zwei abundanten Zahlen schreiben.

20736
12⁴, deshalb im Duodezimalsystem 10000.

26861
Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3:
Im Bereich bis 26861 gibt es von beiden Formen gleich viele. 26861 selbst ist eine Primzahl der Form 4n+1. Alle Primzahlen >2 sind von diesen beiden Formen. Von den ersten zwanzig Primzahlen sind 11 von der Form 4n+3. Dieses Übergewicht setzt sich fort bis 26849, wo Gleichheit eintritt. 26861 verändert das Verhältnis erstmals zugunsten der Form 4n+1, doch nur kurz: 26863 und 26979 sind wieder 4n+3-Primzahlen. Es gibt unendlich viele Stellen, an denen die beiden Folgen sich hinsichtlich der Mehrheit einander abwechseln.

27594
Läßt sich auf zwei bemerkenswerten Weisen als Produkt schreiben:
73*9*42=7*3942.

40311
Beginn der längsten bekannten Folge von Zahlen, deren Teiler übereinstimmen: 40311-40312-40313-40314-40315.

40320
8!

40585
Gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern= 4!+0!+5!+8!+5!

40755
Nach der Eins die erste Zahl, die Dreiecks-, Fünfecks- und Sechseckszahl ist.

45045
=5*7*3²*11*13. Die erste ungerade abundante Zahl, die von Bovillus entdeckt wurde.

50625
15⁴=4⁴+6⁴+8⁴+9⁴+14⁴.
Das kleinste Bsp. für eine vierte Potenz, die sich als Summe von nur 5 anderen vierten Potenzen schreiben läßt.

54748
Gleich der Summe der fünften Potenzen ihrer Ziffern.

65536
=2¹⁶. Ein 64KB-Speicher hat soviele Bytes.

65537
2^{2^ 4}+1.
Die vierte Fermatsche Zahl und die größte bekannte Fermatsche Primzahl. mit 384 quadratischen Gleichungen läßt sich das reguläre 65537-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren.

99954
Das Kaprekar-Verfahren führt, wenn man es auf vierstellige Zahlen anwendet, deren Ziffern nicht alle übereinstimmen, in einen von drei Zyklen: 99954-95553; 98532-97443-96642 und 98622-97533-96543-97641.

142857
Zyklische Zahlen:
Bei Unterhaltungsmathematikern besonders beliebt: Als Periode der Dezimalbruchentwicklung von 1/7: 0,142857 142857...
Der erste Dezimalbruch, der eine Periode maximaler Länge besitzt, also die Periodenlänge um eines kleiner als die Zahl selbst.
Multipliziert man 142857 mit einer Zahl zw. 1-6, ergibt sich eine zyklische Permutation:
142857*1= 142857
142857*2= 285714
142857*3= 428571
142857*4= 571428
142857*5= 714285
142857*6= 857142
Die Folge liefert ein verblüffendes Muster, wenn man die Ziffern auf einer Kreislinie anordnet. (=> 13.)
Multipliziert man mit größeren Zahlen, ergibt sich das gleiche Muster mit geringen Abwandlungen (z.B. ist 12*142857=1714284, was zu 714285 wird, wenn man die 1 am Anfang zur 4 am Schluß addiert).
Ein anderes Bsp. ist die Quadrierung von 142857 = 20 408 122 449. Zerlegt man diese Zahl von rechts in 2 Gruppen zu 6 Ziffern und addiert diese, erhält man 122 449+020408=142857!
Deshalb ist 142857 eine Kaprekar-Zahl. Es gibt nur eine Ausnahme von der o.a. Gesetzmäßigkeit: die Multiplikation mit 7 oder einem Vielfachen davon: 142857*7=999999. Diese Eigenschaft haben alle Perioden von periodischen Dezimalbrüchen. Multipliziert man die Periode von 1/n mit der Zahl n, besitzt das Resultat so viele Neunen, wie die Zahl n angibt.
Symmetrisch dazu gilt: 1/142857 = 0,000007000007000007...
Wenn man 142857 in zwei Hälften spaltet und diese addiert, erhält man 999.
Jede Zahl aber, deren Ziffern sich zu 999 summieren, wenn man diese vom Einerende an zu Dreiergruppen zusammenfaßt, ein Vielfaches von 999. Deshalb ist 142857 ein Vielfaches von 999: 143*999=142857.
Wenn aber 7*142 857=999 999=7*999*143,
dann gilt: 7*143=1001 und 142 857 143*7 = 1 000 000 001. Das ist die Grundlage eines Rechentricks: Will man eine beliebige neunstellige Zahl mit 142 857 143 multiplizieren, stellt man sich diese Zahl zweimal hintereinander vor und teilt dann durch sieben.
Die Antwort wird noch eindrucksvoller, weil man sie von links beginnend niederschreiben kann, sobald man die ersten Ziffern der zu multiplizierenden Zahl kennt. Bsp: aus 577 831 345 wird 577 831 345 577 831 345. Die Division durch 7 ergibt: 8 254 733 582 547 335.
Die beiden Hälften von 1/7 besitzen eine andere schöne Eigenschaft: Teilt man 857 durch 142, ist der Quotient gleich 6 (=7-1) un der Rest ist 5 (=7-2): 857=142*6+5.
Stellen wir uns vor, die Ziffern der Ausgangszahl seien in Paaren zusammengefasst, addieren sie sich zu 99: 14+28+57=99.
Da die Periodenlänge sechs beträgt, können wir die Ziffern auch in Dreiergruppen fassen. Wie auch immer die Länge der Periode ist, die Ziffern lassen sich stets in Einergruppen einordnen. Im vorliegenden Fall stellen wird fest, daß 142857 durch 9 teilbar ist: 1+4+2+8+5+7=27 und 2+7=9.
Addiert man die diametral auf dem Kreis angeordneten Zahlen, ergibt sich auch immer neun. Diesselbe Symmetrie findet man auf den Ziffern eines Taschenrechners.
Das Verfahren, Hälften oder Drittel zu addieren, funktioniert für alle Vielfachen füf 142857, vorausgesetzt, man fürt das Verfahren so lange fort, bis eine drei- bzw. zweiziffrige Zahl erreicht ist.
   142857*361=51 571 377.   51+571+377=999 und 51+57+13+77=198, ergibt 99.
   142857*74= 10 571 418.    10+571+418=999 und 10+57+14+18=99.
Ähnliches gilt für die Perioden anderer Brüche, die maximale Länge besitzen (1/17, 1/19).
Welche 6stellige Zahl wird mit 5 multipliziert, wenn man die Ziffer an der Einerstelle wegnimmt und vor die Zahl schreibt? Natürlich 142 857 * 5 = 714 285.
Das nennt man Transmultiplikation, man könnte auch die führende Ziffer an das Ende anhängen oder auch ganze Blöcke verschieben. Als Lösung findet man immer die Periode derselben Dezimalzahl.

142857 ist durch die Repunit-Zahlen 11 und 1111 teilbar.

148349
Einzige bekannte Zahl, die gleich der Summe der Subfakultäten ihrer Ziffern ist: !1+!4+!8+!3+!4+!9.

161038
=2*73*1103. Die kleinste gerade Pseudoprimzahl zu rBasis zwei. Sie sind sehr selten, die nächste ist 251326.

183184
=428², eine Quadratzahl, deren Ziffern zwei aufeinanderfolgende Zahlen bilden. Es gibt noch zwei weitere sechsstellige Zahlen dieser Eigenschaft: 528529=727² und 715716=846².

196560
Anzahl Sphären, die in einem 24-dimensionalen Leech-Gitter eine feste Sphäre berühren. (JAAA!! Ich LIEBE solche Aussagen!)

208135
Größte bekannte Zahl, die Dreiecks- und quadratische Pyramidenzahl ist. Es ist nicht bekannt, ob es eine größere gibt, noch, ob es unendlich davon gibt.

248832
=12⁵= 4⁵+5⁵+6⁵+7⁵+9⁵+11⁵.
Die kleinste fünfte Potenz, die sich als Summe von nur sechs fünften Potenzen darstellenläßt.

333667
333667*296 = 987 765 432 (Ziffern 2-9 in umgekehrter Reihenfolge). Anfang einer Gesetzmäßigkeit:

33 336 667	*	2996	=	99 876 654 332
333 336 667	*	29996	=	99 987 666 543 332

usw.
Es gibt auch eine andere Gesetzmäßigkeit:

333 667	*	1 113	=	371 371 371
333 336 667	*	11 133	=	371 137 113 711
33 333 366 667	*	1 111 333	=	371 113 711 137 111
333 667	*	2 223	=	741 741 741

351120
Die dritte Potenz läßt sich als Summe von drei, vier, fünf, sechs, sieben und acht Kuben darstellen.

362880
9! = 7! 3! 2!

369119
Summe der Primzahlen, die kleiner als 369119 sind, beträgt 5 537 154 119. Diese Zahl ist durch 369119 teilbar!

510510
Gleich dem Produkt der ersten sieben Primzahlen: 2*3*5*7*11*13*17, und dem Produkt von vier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen: 13*21*34*55.

523776
= 2⁹*3*11*31.
Die dritte dreifach-vollkommene Zahl. Die Summe der Teiler, sich selbst eingeschlossen, beträgt 3 * 523776.

548834
=5⁶+4⁶+8⁶+8⁶+3⁶+4⁶.

666666
Im pythagoräischen Dreieck der Kantenlängen 693, 1924 und 2045 ist dies der Flächeninhalt.

739397
Größte zweiseitige Primzahl. Welche Ziffer man auch immer von einem der beiden Enden weggenommen hat, das Übriggebliebene ist eine Primzahl.

828828
Außer 55, 66 und 666 die einzige palindromische Dreieckszahl.

1048576
=16⁵= 2²⁰.
100 000 im Hexadezimalsystem.

1 122 659
Eine Cunningham-Kette von Primzahlen ist eine Folge, in der jedes Glied gleich dem um eins vergrößerten Doppelten des vorangehenden Gliedes ist. Es gibt drei dieser Ketten mit sieben Gliedern, deren erstes Glied kleiner als 10⁷ ist. Die Kette mit dem kleinsten Anfangsglied ist:
1 122 659 - 2 243 319 - 4 490 639 - 8 981 279 - 17 962 559 - 35 925 119 - 71 850 239.

1 175 265
Mit 1 438 983 das erste Paar befreundeter ungerader Zahlen.

1 234 321
Gleich 1111². Es gilt folgendes Schema:

121	*	(1+2+1)	=	22²
12321	*	(1+2+3+2+1)	=	333²
1234321	*	(1+2+3+4+3+2+1)	=	4444²

usw.

1 741 725
= 1⁷+7⁷+4⁷+1⁷+7⁷+2⁷+5⁷.

3 628 000
=10!.
Auch die einzige Fakultät, die sich als Produkt von anderen Fakultäten darstellen läßt (abgesehen von 1! = 0!*1! oder 2! = 0!*1!*2! = 1!*2!) => 10! = 6!*7! oder 3!*5!*7!.

4 937 775
Smith-Zahlen:
Eine Smith-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl, bei der sich ihre Ziffern zur selben Summe aufaddieren wie die Ziffern ihrer Primfaktorzerlegung unter Ausschluß der Eins.
4 937 775 = 3*5*5*65837. Die Ziffern der Zahl wie auch ihrer Primfaktoren summieren sich zu 42.
Smith-Zahlen lassen sich aus Repunit-Zahlen, die prim sind, konstruieren. R_n ist die Repunit-Zahl mit n stellen. Ist R_n prim, so ist 3304*R_n eine Smith-Zahl. 3304 ist dabei nur der kleinste Multiplikator, der zum Ziel führt.

12 345 679 * 1 =	12 345 679	(es fehlt Ziffer 8)
12 345 679 * 2 =	24 691 358	(es fehlt Ziffer 7)
12 345 679 * 3 =	37 037 037
12 345 679 * 4 =	49 382 716	(es fehlt Ziffer 5)
12 345 679 * 5 =	61 728 395	(es fehlt Ziffer 4)
12 345 679 * 6 =	74 074 074
12 345 679 * 7 =	86 419 753	(es fehlt Ziffer 2)
12 345 679 * 8 =	98 765 432	(es fehlt Ziffer 1)
12 345 679 * 9 =	111 111 111

Die Ziffernfolge 1-9 läßt sich jeder der Zeilen wiederfinden, wenn man entsprechende Sprünge macht.

24 678 050
=2⁸+4⁸+6⁸+7⁸+8⁸+0⁸+5⁸+0⁸.

33 550 336
2¹²(2¹³-1), die fünfte vollkommene Zahl.

123 456 789
Multipliziert mit 8, ergibt sich 987654312 (die letzten beiden Ziffern sind vertauscht). Sie bleibt auch gesamtziffrig, wenn man sie mit 2, 4, 5 oder 7 multipliziert.
Unter Einschluß der Null gibt es z.B. die 1 098 765 432, die man mit 2, 4, 5 oder 7 multiplizieren kann, ohne daß sie ihre Gesamtziffrigkeit verliert.

139 854 276
11826².
Die kleinste gesamtziffrige Quadratzahl.

272 400 600
Die Summe der harmonischen Reihe 1+1/2+1/3+1/4...strebt ungewöhnlich langsam gegen unendlich. Sie braucht 272 400 600 Glieder, um die zwanzig zu überschreiten (von 19,999 999 997 9... zu 20,000 000 0016). Man braucht 1,5*10⁴³ Glieder, um über 100 zu kommen.

275 305 224
Die Anzahl der magischen Quadrate der Ordnung fünf, ohne Berücksichtigung von Drehungen und Spiegelungen.

0 429 315 678
Diese gesamtziffrige Zahl ist gleich drei gesamtziffrigen Produkten:
04 926*87 153; 07 923*54 186; 15846*27093.

438 579 088
= 4⁴+3³+8⁸+5⁵+7⁷+9⁹+0⁰+8⁸+8⁸.
Die einzige weitere Zahl dieser Eigenschaft istd 3455.

455 052 511
Anzahl von Primzahlen im Bereich bis 10¹⁰.

739 391 133
Im Dezimalsystem die größte Primzahl, bei der man jeweils die letzte Ziffer wegnehmen kann und es sich immer wieder Primzahlen ergeben. Die Folge hört mit 739, 73, 7 auf.

932 187 456
Größte gesamtziffrige Quadratzahl unter Ausschluß der Null. = 30384².

987 654 321
Mit 1, 2, 4, 5 , 7 oder 9 multipliziert ergibt sich immer eine gesamtziffrige Zahl unter Einschluß der Null. Außerdem ist: 987 654 321 - 123 456 789 = 864 197 532.

1 111 111 111
Die kleinste 10stellige Kaprekar-Zahl. Das Quadrat: 1 234 567 900 987 654 321.

1 234 567 891
Eine der drei bekannten Primzahlen, deren Ziffern in aufsteigender Folge angeordnet sind, wobei mit eins begonnen und von neun zu eins oder falls erforderlich zur null zurückgegangen wird. Die beiden anderen: 12 345 678 901 234 567 891 und 1 234 567 891 234 567 891 234 567 891.

1 553 776 801
3. Zahl, die Dreiecks-, Fünfecks- und Sechseckszahl ist.

1 787 109 376
Eine der beiden zehnstelligen automorphen Zahlen, d.h. das Quadrat dieser Zahl endet mit den Ziffern ...1 787 109 376. Daraus folgt, daß jede Zahl, die aus dieser Zahl durch Wegnehmen der führenden Ziffern entsteht, ebenfalls automorph sein wird.
Die andere ist 8 212 890 625.

1 979 339 339
Die größte Primzahl, bei der man Ziffern vom rechten Ende nehmen kann, so daß sich immer wieder Primzahlen ergeben. Eins soll dabei als Primzahl gelten.
Eine Zahl, die nur wenig kleiner ist und diesselbe Eigenschaft hat: 1 979 339 333.

2 236 133 941
Das erste Glied einer Folge von 16 Primzahlen, die in arithmetischer Progression stehen. Die Differenz zweier Glieder: 223 092 870.

2 438 195 760
Eine gesamtziffrige Zahl, die zudem noch durch alle Zahlen zwischen 2 und 18 teilbar ist! Drei weitere Beispiel hierfür: 4 753 869 120, 3 785 942 160, 4 867 391 520.

3 430 751 869
Die zweitlängste bekannte Folge von Primzahlen, die in arithmetischer Progression stehen, aus 17 Zahlen, beginnend mit dieser Zahl, die Differenz zwischen zwei Glieder beträgt je 87 297 210.
Die letzte Primzahl der Folge ist also 4 827 507 229.

4 294 967 297
Die 5.Fermatsche Zahl = 2^{2 ^ 5} +1. Eine zusammengesetzte Zahl, damit wurde die Vermutung von Fermat widerlegt, daß alle Zahlen 2^{2 ^ n} +1 prim seien.

4 679 307 774
Die einzige bekannte zehnstellige Zahl, die gleich der Summe der zehnten Potenzen ihrer Ziffern ist.

9 814 072 356
Die größte Quadratzahl, die gesamtziffrig unter Einschluß der Null ist.

9 876 543 210
Subtrahiert man davon 0123456789, erhält man 9 753 086 421. Diese drei Zahlen sind gesamtziffrig inkl. Null.

15 527 402 881
Die einzige bekannte vierte Potenz, die sich als Summe von nur vier vierten Potenzen schreiben läßt: 353⁴=30⁴+120⁴+272⁴+315⁴.

18 465 126 293
Die Anzahl Primzahlen, die die Form 4n+3 haben, übertrifft die Anzahl der Primzahlen der Form 4n+1 bis in den Bereich der ersten Milliarden. Der sechste und größte bekannte Bereich, für den das nicht der Fall ist, geht von 18 465 126 293 bis 19 033 524 538.

36 363 636 364
Das Quadrat 1 322 314 049 613 223 140 496 dieser Zahl besteht aus zwei identischen Hälften.

107 928 278 317
Primzahlen in arithmetischer Progression:
Diese Primzahl ist das erste Glied von einer Folge von 18 Primzahlen, die in einer arithmetischen Progression stehen. Die Zahlen der Form 107 928 278 317 + k*9 922 782 870 sind für alle Werte für k von Null bis 17 prim.
Stehen k Primzahlen in einer arithmetischen Progression, besitzen sie eine konstante Differnez, die durch das Produkt aller Primzahlen, die kleiner/gleich k sind, teilbar ist. Eine Ausnahme bildet nur der Fall, daß das erste Folgenglied selbst die k-te Primzahl ist.

158 753 389 900
Der Kehrwert drückt die Wahrscheinlichkeit aus, mit der man beim Bridge eine Straße bekommt.

637 832 238 736
Die zweitgrößte palindromische Quadratzahl, die eine gerade Anzahl von Ziffern besitzt.
1 000 000 000 061 (13 Stellen)
Zusammen mit 1 000 000 000 063 ein Paar von Primzahlzwillingen. Allerdings bei weitem nicht das größte.

22 222 222 222 222 (14 Stellen) und 555 555 555 555 555 (15 Stellen):
Kaprekar-Zahlen.

052 631 578 947 368 421 (17 Stellen)
Die Periode von 1/19. Man kann sie durch forgesetzte rückwärts gerichtete Addition der Potenzen von zwei finden:

											1
										2
									4
								8
						1	6
					3	2
				6	4
		1	2	8
	2	5	6
..
..	..	..	9	4	7	3	6	8	4	2	1

Besitzt die Periode maximale Länge wie hier, dann kann man immer die Dezimalbrücke vn 1/p, 2/p, ...(p-1)/p quadratförmig auflisten, wobei die Summe der Spalten und der Zeilen übereinstimmen.
1/19 hat die seltsame Eigenschaft, daß in seinem Fall auch entlang der Diagonalen die Summe 81 ergibt, weshalb man 1/19 als magisch bezeichnen darf. (siehe Skizze)

1 111 111 111 111 111 111 (19 Stellen)
Repunitzahlen:
Eine Zahl aus lauter Einsen ist eine Repunitzahl, sie ist eine Abkürzung für "repeated unit". R_n ist die Repunitzahl aus n Einsen.
Die kleinste Repunitprimzahl ist 11, danach kommt R₁₉ (s.o.), die einzigen anderen bekannten Repunitprimzahlen sind R₂₃ und R₃₁₇ sowie wahrscheinlich R₁₀₃₁, was mit fast an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit der Fall ist.
Repunitzahlen hängen auf einfache Art mit den Potenzen von zehn zusammen: R_n=(10ⁿ-1)/9.
Alle Repunitzahlen bis R₆₆ sind vollständig in Primfaktoren zerlegt worden. R₆₇, R₇₁ und R₇₉ sind die ersten, über deren Faktorisierung noch keine Klarheit herrscht.
Es treten auch Muster auf: R₃₈= 11*909 090 909 090 909 091 * 1 111 111 111 111 111 111.
Es ergibt sich, weil 38=2*19 ist.
Deshalb ist 10 000 000 000 000 000 001*1 111 111 111 111 111 111 = R₃₈.
Weil 19 eine ungerade Zahl ist: 10 000 000 000 000 000 001=11*9009 090 909 090 909 091.
Es gibt erstaunlich viele große Zahlen, deren Kehrwerte kurze Periode haben. So ist die Periode von 4649 unter Absehung der führenden Nullen nur 2151 Ziffern lang.
Repunit-Zahlen sind niemals Quadratzahlen. Man weiß nicht, ob es Repunitzahlen gibt, die Kuben sind, noch, ob es unendlich Repunitzahlen gibt.
R_p und R_q sind teilerfremd, wenn p und q teilerfremd sind. Bezüglich der Basis neun sind alle Repunitzahlen Dreieckszahlen.
Die Quadrate von Repunitzahlen ergeben ein Muster:
1111²=1234321
1 111 111 111 111² = 12 345 678 900 987 654 321.

18 446 744 073 709 551 615 (20 Stellen)
2⁶⁴-1, Anzahl der Weizenkörner auf dem legendären Schachbrett. Zufällig auch die Anzahl Züge, die die Priester des Tempels von Benares brauchen, um gemäß der Legende die goldenen Scheiben des Turmes von Hanoi umzulegen.

43 252 003 274 489 856 000 (20 Stellen)
Gleich (8!*12!*3⁸*1¹²) / (2*3*2)
Das ist die Gesamtzahl von Positionen, die auf dem Original-Rubick's Kube der Abmessungen drei auf drei auf drei auftreten können.

2⁶⁷-1. (21 Stellen)
Die 67. Mersenne-Zahl. Sie ist zusammengesetzt. E.T. Bell schreibt dazu: Das Oktobertreffen der American Methematical Society im Oktober 1903 enthilet einen Vortrag von Cole, dem dieser den bescheidenen Titel "On the Factorisation of Large Numbers" gegeben hatte. Als der Vorsitzende den Vortrag von Cole aufrief, trat diese - der stets ein Mann weniger Worte gewesen war - an die Tafel und begann ohne Worte, den Wert von 2 hoch siebenundsechszig auszurechnen. Dann zog er sorgfältig eins ab. Wiederum ohne ein Wort zu sagen, suchte er sich ein freies Plätzchen an der Tafel und fing an, schriftlich die Multiplikation
193 707 721 * 761 838 257 287 auszuführen. Die beiden Ergebnisse stimmten überein. Zum ersten und einzigen Mal brach das Publikum einer Versammlung der American Mathematical Society in Applaus aus. Cole nahm seinen Platz wieder ein, ohne irgend etwas zu sagen. Niemand stellte eine Frage."
Auf eine spätere Frage sagte Cole, daß er drei Jahre, jeden Sonntag, für diese Lösung brauchte.

11 111 111 111 111 111 111 111 (23 Stellen)
Die 23. Repunitzahl, die 3. Repunitprimzahl.

357 686 312 646 216 567 629 137 (24 Stellen)
Die größte Primzahl im Dezimalsystem mit der folgenden Eigenschaft: Nimmt man von vorne beginnend Ziffern von dieser Zahl weg, entstehen wieder Primzahlen. Die Folge endet mit 37, 7.

2 235 197 406 895 366 368 301 560 000 (28 Stellen)
Der Kehrwert gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß alle vier Spieler beim Bridge eine volle Straße haben. Man hört trotzdem viel häufiger von diesem Fall als davon, daß z.B. zwei Spieler eine volle Straße bekommen, was viel wahrscheinlicher ist.

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401 (39 Stellen)
Die größte derzeit bekannte mehrfach vollkommene Zahl im Dezimalsystem. Gleich der Summe der 39.Potenzen ihrer Ziffern!

2¹²⁷-1 (39 Stellen)
Die 127.Mersenne-Zahl. Sie ist prim und ist die größte Primzahl, die man ohne die Hilfe von modernen Geräten gefunden hat (vermutet 1876 von Lucas, bestätigt 1914 von Fauquembergue).

10⁵¹ (52 Stellen)
Die Sandrechnung:
Archimedes widmete sich im Buch "Die Sandrechnung" der Darstellung großer Zahlen. Dabei beginnt er mit einer Myriade = 10.000. Er zählt weiter bis zu einer Myriade Myriaden, was eine Zahl erster Ordnung war. Dann nahm er Myriaden Myriaden (100.000.000) als Einheit für die Zahlen zweiter Ordnung. So fährt er fort, bis er die myriaden-myriadste Ordnung von Zahlen erreichte. Alle die konstruierten Zahlen gehörten aber erst zur ersten Periode. Er machte mit seiner giganteischen Konstruktion so lange weiter, bis er "eine myriaden-myriadste Einheit der myriaden-myriadsten Ordnung in der myriaden-myriadsten Periode" erreichte.
Die größte so darstellbare Zahl ist: 10 ^{80 000 000 000 000 000}.
Dann berrechnete er die Anzahl Sandkörner, mit denen man das Weltall ausfüllen könnte, unter der Annahme, daß in eine Mohnblüte nicht mehr als 10.000 Körner passen, deren Durchmesser nicht kleiner als 1/40 einer Fingerbreite beträgt, sowie, daß die Fixsternsphäre (für Archimedes das Ende des Universums) kleiner als das 10⁷-fache der als kreisförmig vorgestellten Sonnenbahn sei. Er kam auf einen Wert von kleiner als 10⁵¹.
Diese Leistung ist in der griechischen Mathematik einmalig. Im allgemeinen interessierten sich die Griechen außerhalb geometrischer Kontexte nicht für Zahlen. Indische Mathematiker dagegen hatten schon lange die Angewohnheit, große Zahlentürme zu bilden, die mit den Vielfachen von 10 oder 100 anwuchsen, und mit denen sie die Atome in den dreitausend Tausend Welten, die es im Universum gibt, zählen wollten.

10⁶³ (64 Stellen)
Eine Vingintilliarde. Dies könnte die größte Zahl sein, die Archimedes in der Sandrechnung betrachtet habe, meinen manche.
Die größte im Deutschen gebräuchliche Zahlenbezeichnung ist vielleicht die Zentilliarde, also 10¹⁰³, wobei die zugesetzte -3 die Endung -illiarde ergibt.
Durch geeignete Kombination von lateinisch klingenden Wörtern lassen sich noch größere Zahlen benennen: Eine Milli-Millimillion ist 10 ^{3 000 000}. Das ist sicher eines der am wenigsten gebräuchlichsten Wörter der deutschen Sprache.

2²²³+1
20. Fermatsche Zahl. Laut Guiness-Buch der Rekorde 1992 Grund der längsten Berrechnung für eine Ja-Nein-Antwort auf einem CRAY-2, ob diese Zahl prim sei. Die Antwort lautete nach 10 Tagen "Nein".

2²²⁹-1 (69 Stellen)
Alle Mersennezahlen im Bereich M₃₂ bis M₂₅₇ sind zusammengesetzt, bis auf die Ausnahmen M₁₅₇, M₁₆₇, M₁₉₉, M₂₂₇ und M₂₂₉. Die nächste Mersenne-Primzahl ist 2⁵²¹-1.

"....." (100 Stellen)
Das Faktorisieren großer Zahlen:
Wie groß darf eine zufällig ausgewählte Zahl sein, daß man sie mit einem vertretbaren Zeitaufwnad noch faktorisieren kann?
1659 erschien eine Tafel mit den Faktoren der Zahlen bis 24000. Kulik (1773-1863) verbrachte 20 Jahre seines Lebens mit einer Faktorentabelle der Zahlen bis 100 Mio. Das sind Zahlen bis höchstens 8 Stellen. Jede zusätzliche Stelle bedeutet 10mal mehr Zahlen. Mit jeder Stelle nimmt die Zeit, die man für die Faktorisierung braucht, um ein Mehrfaches zu. Nur Zahlen mit spezieller Form, wie Mersenne-Zahlen und Fermatsche Zahlen lassen sich bis zu wesentlich größeren Werten hin testen.
Noch 1943 war man der Ansicht, bei 15- und mehrstelligen Zahlen würde ein Primzahltest Jahre dauern. Es war noch die Zeit der mechanischen Tischrechner und das elektromechanische Sieb von Lehmer.
1974 waren dann effizientere Computer der große Schub nach vorne. 20-25stellige Zahlen waren eine Leichtigkeit.
1980 wurde ein Test entwickelt, mit dem eine zufällige Zahl mit bis zu 100 Stellen in 4-12 Stunden auf ihre Primzahleigenschaft testen konnte.
Heute dauert dieser Test auf einem CRAY o.ä. wenige Sekunden.
1975 führten Diffie und Hellman die Drapdoorfunktion ein, was eine mathematische Funktion ist, die jede Zahl A in ihre Codezahl B umwandelte. Diese Funktion besitzt eine Umkehrfunktion, mit deren Hilfe man A aus der Kenntnis von B ermitteln kann. Die Schönheit der Idee liegt im Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen. Die inverse Funktion läßt sich in der Praxis nicth aus der Ausgangsfunktion berechnen. Damit wurde es möglich, Nachrichten auf eine geniale Weise zu verschlüsseln.
Den Kern der einfachsten dieser Funktionen bildet eine Zahl, die Produkt zweier großer Primzahlen ist. Rivest hat ein Bsp. mit zwei 63stelligen Primzahlen konstruiert. Diese werden multipliziert und ergeben eine 125- oder 126stellige Zahl. Will der feindliche Spion die Nachricht entschlüsseln, muß er diese 125/6stellige Zahl wieder in das Produkt der beiden 63stelligen Zahlen zerlegen. Rivest schätzte 1977, daß hierfür ein großer Computer 4*10¹⁶ Jahre brauchen würde.

10¹⁰⁰ (101 Stellen)
Googol. Eine Eins mit 100 Nullen. Das Kind, das Kasner auf den Namen Googol gebracht hat, war dessen neunjähriger Neffe. Dieser schlug auch die Bezeichnung Googolplex für die noch größere Zahl vor, die entsteht, wenn man hinter eine Eins googol Nullen schreibt. Also 10^Googol.
Die Gesamtzahl der Partikel im Universum wird auf 10⁸⁷ geschätzt.
Es geistert irgendwo auch die enorme Zahl Googolplexplex herum, das ist 10^Googolplex.

2⁵²¹-1 (157 Stellen)
13.Mersenne-Primzahl, ergibt die 13.vollkommene Zahl. Lehmer hat 1952 in wenigen Stunden auf einem Computer bewiesen, daß 2⁵²¹-1 und 2⁶⁰⁷-1 (letztere hat 183 Stellen) beide Mersenne Primzahlen sind.

11 111 111 ... 111 111 (317 Einsen)
Die vierte und größte bekannte Repunitzahl.

2²²⁸¹-1 (687 Stellen)
Die 12. Mersenne-Primzahl 2¹²⁷-1, die von Lucas entdeckt wurde, blieb 1876 bis 1951 die größte bekannte Primzahl. Dann wurde bewiesen, daß die nicht-mersennesche Zahl (2¹⁴⁸+1)/17 prim ist.
1952 wurden dann 5 größere Mersenne-Primzahlen gefunden, von denen die oben genannte die größte war.

1 159 142 985 * 2²³⁰⁴ +/-1 (703 Stellen)
Das ist das größte derzeit bekannte Paar von Primzahlzwillingen. Gleichzeitig wurde auch das Paar 694 513 810 * 2²³⁰⁴ +/-1 entdeckt.

2⁴²⁵³-1 (1281 Stellen)
19. Mersenne-Primzahl, erste bekannte Primzahl, die mehr als 1000 Stellen hat. 1961 gefunden.

2⁸¹⁹¹-1 (2466 Stellen)
Die 8191.Mersenne-Zahl. Sie ist aber zusammengesetzt, so wie auch der Präfix 8191 (=M₁₃). 1953 brauchte dafür der Rechner noch 100 Stunden.

2¹¹²¹³-1 (3376 Stellen)
23.Mersenne-Primzahl, 1963 entdeckt. Es gab sogar einen Post-Sonderstempel deshalb.

2¹⁹⁹³⁷-1 (6002 Stellen)
24.Mersenne-Primzahl, 1971 entdeckt.

2²¹⁷⁰¹-1 (6533 Stellen)
25.Mersenne-Primzahl, 1978 von zwei 18jährigen Schülern entdeckt.

2²³²⁰⁹-1 (6987 Stellen)
26.Mersenne-Primzahl, 1979 von denselben Schülern entdeckt. Der Computer brauchte 8 Stunden, um die Zahl zu prüfen. Zwei Wochen später wurde das Ergebnis mit einem CRAY 1 geprüft, der dazu 7 Minuten brauchte.

2⁴⁴⁴⁹⁷-1 (13395 Stellen) 27.Mersenne-Primzahl, 1979 entdeckt.

2⁶⁵⁵³⁶ (19729 Stellen)
Das ist 2 ^{2 ^ 2 ^ 2 ^ 2}. Die Ackermannsche Funktion ist eine der Funktionen, die in letzter Zeit im Rahmen kombinatorischer Probleme auftauchten, die astronomisch anwachsen.
Sie wird durch folgende Vorschrift definiert: P(a,b)=ƒ((a-1), ƒ(a,b-1)) mit den Startwerten ƒ(1,b)=2b und ƒ(a,1)=a für a>1.
ƒ(3,4) =2⁶⁵⁵³⁶ ist eine Zahl mit über 19000 Stellen. Man versuche sich vorzustellen, wie groß ƒ(10,10) oder ƒ(100,100) ist!

2⁸⁶²⁴³-1 (25962 Stellen)
Wahrscheinlich die 28.Mersenne-Primzahl, 1983 entdeckt. Der CRAY brauchte für sie eine Stunde, drei Minuten und dreiundzwanzig Sekunden. Vorangegangen waren monatelange Vorbereitungsarbeiten, um diese Zahl als vermutlich prim nachzuweisen.
Zur Vorstellung: Ein Apple führt ca. 250.000 Befehle pro Sekunde aus. CRAY führt nur Gleitkommaoperationen durch, er benötigt 64 Bits, um eine Zahl darzustellen. 15 davon können den Exponenten umfassen.
Jede Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ist ein Befehl. Ein Megaflop ist eine Million Gleitkomma-Befehle in der Sekunde. CRAY-1 schaffte 150 Megaflops, neuere Modelle 250, 500 oder 1000 Megaflops. CRAY-3 soll bis 10 Gigaflops schaffen.

2¹³³⁹⁴⁹-1 (39.751 Stellen)
Vermutlich 29.Mersenne-Primzahl, 1983 entdeckt. Zweitgrößte bekannte Primzahl.

2²¹⁶⁰⁹¹-1 (65.050 Stellen)
Derzeit größte bekannte Primzahl, mit dem neuen CRAY X-MP errechnet, der 400 Mio. Rechnungen in der Sekunde ausführen konnte. Er brauchte drei Stunden, doch auch hier waren Monate von Arbeit vorangegangen.
(Buch war von 1990!, Guinessbuch 1992: größte Primzahl ist 2²¹⁶⁰⁹³-1, 1989 mit einem Amdahl 1200-Computer errechnet. Stellen: 65087. Laut Guiness-Buch ist 2²¹⁶⁰⁹¹-1 auch die größte Mersenne-Primzahl, sie ergibt die größte bekannte vollkommene Zahl, die einunddreisigste mit (2²¹⁶⁰⁹¹-1)*2²¹⁶⁰⁹⁰).

9^{9 ^ 9} (369 693 100 Stellen)
Die größte Zahl, die man im Dezimalsystem mit nicht mehr als drei Ziffern und ohne weitere Symbole darstellen kann. 1906 wurde bereits die Stellenzahl dieser Zahl gezeigt.
1947 berrechnete Uhler 250 Stellen von log9^{9 ^ 9}. Er hatte einen großen Teil seiner Zeit dazu verwandt, eine ungewöhnliche Vielfalt mathematischer Zahlen, z.B. Logarithmen, Kehrwerte, Wurzeln auf ungeheuer viele Stellen genau zu berechnen. Für ihn war das Erholung. Die Berechnung von log9^{9 ^ 9} war doppelt erholsam. Er führte sie zwischen der Suche nach Faktoren von Mersenne-Zahlen wie M₁₅₇ durch. Die letztgenannte Zahl ist nach Uhler zusammengesetzt.

10^{10 ^ 10 ^ 34}
Skewes' Zahl:
Die Anzahl der Primzahlen, die kleiner/gleich n sind, ist ungefähr gleich ∫ ⁿ ₀ (dx/logx). Für kleine Werte von n (bis einige zehn Millionen) liefert die Formel einen zu großen Wert für die Anzahl Primzahlen. Das ist aber nicht immer so. Littlewood bewies 1914 sein Theorem, das besagt, daß die Formel unendlich oft zwischen einem zu großen und einem zu kleinen Wert schwankt. Das gilt natürlich nur, wenn man genügend große Zahlen verwendet.
Wie groß?
1933 bewies Skewes, daß der erste Wechsel stattfindet, bevor n den Wert 10^{10 ^ 10 ^ 34} erreicht. Allerdings mußte er bei seinem Beweise voraussetzen, daß Riemannsche Vermutung richtig ist.
Zu jener Zeit war das eine außerordentlich große Zahl. Hardy meinte, "dies sei die größte Zahl, die jemals in der Mathematik zu einem ernsthaften Zweck Verwendung gefunden hat." Er schlug folgendes Gedankenexperiment vor: Wird mit allen Partikeln im Universum eine Partie Schach gespielt, wobei die Partikel die Steine sein sollten, und gilt das Austauschen eines Paares von Partikeln als Zug, und ist weiter die Partie beendet, wenn dieselbe Position zum dritten Mal auftritt, dann gibt es ungefähr so viele mögliche Partien, wie Skewes' Zahl angibt.
Im Vergleich zu vielen Zahlen, die heute im Zusammenhang mit kombinatorischen Problemen auftauchen, erscheint Skewes' Zahl wie ein Zwerg.

3↑↑3 usw., usw.
Grahams Zahlen:
Weltmeister bei großen Zahlen ist eine obere Schranke, die Graham für ein Teilgebiet der Kombinatorik aufgestellt hat, das man Ramsay-Theorie nennt.
Grahams Zahl läßt sich mit herkömmlichen Mitteln wie Potenzen und Potenzen von Potenzen nicht darstellen. Würde man alle im Universum enthaltene Materie in einem Füllhalter und in Tinte für diese umwandeln, so würde das Resultat nicht ausreichen, um Grahams Zahl schreiben zu können. Folglich ist die oben angegebene von Knuth erfundene, spezielle Notationsweise erforderlich.
3↑3 bedeutet 3³ oder 3 "kubiert".
3↑↑3 bedeutet aber 3↑↑(3↑↑3), was schon eine ziemlich große Zahl gibt:
3²⁷, also 7 625 597 484 987.
3↑↑↑3 ist also 3↑↑(3↑↑3). Das ist 3↑↑7 625 597 484 987 oder 3^{7 625 597 484 987 ^ 7 625 597 484 987}.
3↑↑↑↑3 ist dann 3↑↑↑(3↑↑↑3). Selbst der entsprechende Turm mit Dreiern in der üblichen Notationsweise ist jetzt unvorstellbar groß. Aber Grahams Zahl fängt hier erst an.
Man betrachte 3↑↑↑...↑↑↑ 3, in der es 3↑↑↑3 Pfeile geben soll!
Man konstruiere jetzt die Zahl 3↑↑↑...↑↑↑3, in der die Anzahl der Pfeile gleich der vorangegangenen Zahl 3↑↑↑...↑↑↑3 ist.
Eine unbegreifliche und unglaubliche Zahl! Und dennoch haben wir uns erst zwei Schritte von unserem ursprünglichen Ausdruck 3↑↑↑↑3 entfernt. Nun fährt man fort: In jedem Schritt wird die Anzahl der Pfeile gerade so groß gemacht, wie das die unmittelbar vorangehende Zahl angibt. Das mache man so lange, bis man 63 Schritten Schritte von 3↑↑↑↑3 entfernt ist . Dann hat man Grahams Zahl erreicht.
An dieser Geschichte ist ein Haken. Man erinnere sich daran, daß Grahams Zahl als obere Schranke eingeführt worden ist, ebenso wie Skewes' Zahl. Wie aber lautet die wirkliche Antwort auf Grahams Problem? Gardner zitiert die Antwort der Experten der Ramsay-Theorie. Diese meinen, die Antwort müsse 6 heißen!
Meine persönliche Frage: Warum hört er bei 63 Schritten auf? Warum nicht 3↑↑↑↑3 Schritte?